FCM—— fuzzy c-means algorithm

1.算法思想

算法在度量数据对象的非相似性（或者说距离）时一般使用欧几里得距离，要求每个类的聚类中心与数据对象的距离平方之和最小。用于分群与确定集群中心。

• 这里假设有J个节点，我们要将其分为2 © 个集群，并假设集群的中心为c1,c2。每个节点称为xj,j∈J，设uij为节点属于该集群的可能性。即u1j表示第j个节点到第1个集群中心c1的可能性（称为隶属值）。这里有多少个集群，对于每个节点来说就有多少个隶属值。（这里两个集群的情况下，对于节点j有u1j,u2j两个隶属值）。
  同时，u1j+u2j=1。
  
  -这里由于我们希望集群内的点越近越好，集群间的点越远越好。所以根据节点隶属哪个群，主要是根据它到各节点的距离来确定。
  -这里我们用uij^m ||xj-ci||^{2**,i∈C,j∈J，这里m控制重要性的大小，这里如果两点距离远，uij就很小（0m ||xj-ci||^2} 将会变的很小很小，可能会近似于0。
  -对于每个节点，这里会计算第j个点到所有群心考虑进去
  
  -对于所有节点，该系统的目标函数表示为
  
  最终表示为
  

2.算法解

• 这里可以看出目标问题是一个凸的问题，我们可以使用拉格朗日对偶法进行求解。
• 其拉格朗日函数如下所示：
  
  -由于该问题是一个凸的问题，可以使用KKT条件进行求解
  详细参见：
  求解过程