pku 3280 Cheapest Palindrome DP

http://poj.org/problem?id=3280 

题意：

给定一个长度为m的字符串（都是小写字母） ，求通过添加或者删减若干个字符是原字符串变为回文串的最小代价（这里给出n个字符的删除与添加所需的代价，规定添加和删除的字符串都在给定的这n个字符中）；

思路：

只能说自己dp太弱了，以后有时间一定要多练习dp。

这里对字符串从两端开始进行比较如果相同则dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1],

如果不同则 dp[i][j] = min(dp[i + 1][j] + min(addv[str[i] -'a'],delv[str[i] - 'a']),dp[i][j - 1] + min(addv[str[j] -'a'],delv[str[j] - 'a']));

这个题解比较好粘贴过来用一下：

其实dp很难逃出3种思路：

 

1、一维线性dp：每次考虑i时，选择最优子问题要么在i-1，要么在1...i-1里；

 

2、二维线性dp：考虑(i,j)子问题时，选择最优子问题要么在(i+1,j)、(i,j-1)，要么在i<= k <=j，在k里；

 

3、树形dp：考虑i节点最优时，选择子节点最优，一般融合了01背包dp的双重dp。

 

上面3中模式也是我在做题后才发现的。

 

这个dp题其实就可以仿照第2中思路。

 

假设一个字符串Xx....yY；对于求这个字符串怎么求呢？

 

分4中情况讨论：

 

1、去掉X，取x....yY回文；

 

2、去掉Y，取Xx....y回文；

 

3、在左边加上X,取Xx....yYX回文；

 

4、在右边加上Y,取YXx....y回文。

 

至于去掉X、Y肯定没有第1、2中情况合算；加上X、Y肯定没有第3、4中情况合算。

 

因此令dp[i][j]为i...j要变成回文字符串的最小代价。

 

方程：

 

dp[i][j] = min{  dp[i+1][j] + {去掉X的代价}，dp[i+1][j] + {加上X的代价}，

 

                                                           dp[i][j-1]+ {去掉Y的代价}，dp[i][j-1] +{加上Y的代价}}；

 

其实分析发现，对于X而言，只要去 去掉 和加上 X 最小代价就行（因为前面dp串一样）,Y同理。

 

因此最后得出：

 

dp[i][j] = min{  dp[i+1][j] +min{ {去掉X的代价}, {加上X的代价}}，

 

                                                           dp[i][j-1]+min{ {去掉Y的代价}, {加上Y的代价}}}； 

 

感觉如果dp状态转移方程推出来了之后用记忆化搜索比较好些，于是就写了记忆化搜索：

View Code

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define maxn 2007

#define N 8

using namespace std;

const int inf = 99999999;



int dp[maxn][maxn];

char str[maxn];

int addv[27],delv[27];



int DP(int i,int j)

{

    if (dp[i][j] != 0) return dp[i][j];

    if (i >= j)

    {

        dp[i][j] =  0;

        return 0;

    }

    if (str[i] == str[j])

    dp[i][j] = DP(i + 1,j - 1);

    else

    dp[i][j] = min(DP(i + 1,j) + min(addv[str[i] - 'a'],delv[str[i] - 'a']),DP(i,j - 1) + min(addv[str[j] - 'a'],delv[str[j] - 'a']));

    return dp[i][j];

}

int main()

{

    //freopen("d.txt","r",stdin);

    int n,m,i;

    char ch[3];

    int a,b;

    scanf("%d%d",&n,&m);

    scanf("%s",str);

    for (i = 0; i < n; ++i)

    {

        scanf("%s%d%d",ch,&a,&b);

        addv[ch[0] - 'a'] = a;

        delv[ch[0] - 'a'] = b;

    }

    memset(dp,0,sizeof(dp));

    printf("%d\n",DP(0,m));

    return 0;

}

 

在附带一个dp的：

View Code

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(a))

#define maxn 2007

#define N 8

using namespace std;

const int inf = 99999999;



int dp[maxn][maxn];

char str[maxn];

int addv[27],delv[27];





int main()

{

    //freopen("din.txt","r",stdin);

    int n,m,i,l,j;

    char ch[3];

    int a,b;

    scanf("%d%d",&n,&m);

    scanf("%s",str);

    for (i = 0; i < n; ++i)

    {

        scanf("%s%d%d",ch,&a,&b);

        addv[ch[0] - 'a'] = a;

        delv[ch[0] - 'a'] = b;

    }

    CL(dp,0);

    for (l = 0; l < m; ++l)

    {

        for (i = 0; i + l < m; ++i)

        {

            j = i + l;

            if (str[i] == str[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];

            else

            dp[i][j] = min(dp[i + 1][j] + min(addv[str[i] -'a'],delv[str[i] - 'a']),

                           dp[i][j - 1] + min(addv[str[j] -'a'],delv[str[j] - 'a']));

        }

    }

    printf("%d\n",dp[0][m - 1]);

    return 0;

}