卷积（Convolution）

目录

一，线性卷积

1，连续卷积

2， 离散卷积

3，卷积的性质

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

（4）数乘

（5）微分

二，周期卷积

三，循环卷积

四，高斯卷积

五，滤波器

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一，线性卷积

1，连续卷积

设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)

对于二维甚至多维空间的积分卷积，定义同理。

2， 离散卷积

和连续积分类似的，离散卷积也是两个序列所有和为固定值的元素乘积之和。

实际上，离散卷积和积分卷积的本质是一样的，可以轻松互相转化。

3，卷积的性质

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

（4）数乘

（5）微分

对于离散卷积，D就是差分

二，周期卷积

如果2个周期函数可积，那么它的线性卷积：

然而，周期函数只要都不是恒为0，上式的反常积分都是不存在的。

PS：这个反常积分的柯西主值有可能为0，但是不代表反常积分收敛。

https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/116570653

而实际上，周期函数也没有必要在无穷区间上卷积，只需要在一个周期内即可。

周期函数的周期卷积：

离散的：

三，循环卷积

对于定义域是有限区间的函数，循环卷积就是函数做周期延展之后的周期卷积。

也可以表示成：

从这个式子看，其实也相当于从任意位置分割成2段，分段卷积之和。

二维离散循环卷积：

 

四，高斯卷积

 如果指定g为高斯函数，那么卷积f*g就是f的高斯卷积。

常见的就是一维和二维的高斯函数，即一维和二维的正态分布。

如5*5的高斯卷积

五，滤波器

用卷积作为滤波器，也称核函数。

https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/118390671