计算机系统基础知识——进制转换(二进制、八进制、十进制、十六进制)

前言：计算机系统中常用的进位数制有二进制、八进制、十进制、十六进制，对于任何一种进位数制，其表示的数都可以写成按权展开的 多项式。

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1. 十进制与二进制的相互转换

1.1 十进制转二进制

  十进制数转换为二进制数的方法是：

• 整数部分和小数部分分别转换，然后合并
• 以小数点为分隔符，整数部分转换方向为按位从右往左；小数部分转换方向为按位从左往右
• 整数部分转换方法为除2取余；小数部分转换方法为乘2取整

例1：把十进制数175.71875转换为相应的二进制数

整数部分：

算式	商	余数
175 / 2	87	1
87 / 2	43	1
43 / 2	21	1
21 / 2	10	1
10 / 2	5	0
5 / 2	2	1
2 / 2	1	0
1 / 2	0	1

  当算出商为0时，停止计算。将得到的余数部分，依次按照从右往左排列，整数部分为10101111。

小数部分：

算式	乘积
0.71875 * 2	1.4375
0.4375 * 2	0.875
0.875 * 2	1.75
0.75 * 2	1.5
0.5 * 2	1.0

  当计算出小数部分为0时，停止计算。将得到的乘积部分依次按照从左往右排列小数部分为10111。

$$\begin{gathered} \text{即：}175_{10}=10101111_2\text{,}0.71875_{10}=0.10111_2 \\ 175.71875_{10}=10101111.10111_2 \end{gathered}$$

1.2 二进制转十进制

  二进制数转换为十进制数的做法是：将二进制数的每一位数乘以它的权再相加，即可求得对应的十进制数值。

例2：把二进制数100110.101转换成相应的十进制数
$$\begin{array}{rl}10011.10_2& =1\times 2^5+0\times 2^4+0\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}\\ & =32+0+0+4+2+0+0.5+0+0.125\\ & =38.625\end{array}$$

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2. 八进制与十进制、二进制的相互转换

2.1 八进制与十进制互相转换

  十进制转八进制的做法和十进制转二进制类似：

• 整数部分除8取余，小数部分为乘8取整
• 八进制中数据满8进1，所以每个八进制位上的数据只能为0~7

2.2 八进制与二进制互相转换

  二进制转换为八进制的方法是：

• 整数部分：从小数点开始往左，三位成一组，不足左边补0
• 小数部分：从小数点开始往右，三位成一组，不足右边补0
• 将分成的若干个二进制转换为十进制数，依次排列即为所求八进制数。

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3. 十六进制与十进制、二进制的相互转换shi

3.1 十六进制与十进制相互转换

  十六进制转十进制的做法也和十进制转二进制类似：

• 整数部分除16取余，小数部分称16取整
• 十六进制的进位方法为满16进1，所以每个十六进制位上为1_{15。为了用一个十六进制位表示所有数，10}15就用A~F对应表示。

3.2 十六进制与二进制相互转换

  十六进制与二进制的相互转换跟八进制与二进制的转换类似：

• 整数部分：从小数点开始往左，四位成一组，不足左边补0
• 小数部分：从小数点开始往右，四位成一组，不足右边补0
• 将分成的若干个二进制转换为十进制数（其中10_15对应AF），依次排列即为所求十六进制数。

例3：将二进制数10101111.10111转换为相应的八进制数和十六进制。
$$\begin{gathered} 10101111.10111_2=010101111.101110_2=257.56_8 \\ 10101111.10111_2=10101111.10111000_2=AF.B{8}_{1}6 \end{gathered}$$

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总结

1. 十进制转二进制、八进制、十六进制

进制	数值	方法
二进制	0~1	整数除2取余，小数乘2取整
八进制	0~7	整数除8取余，小数乘8取整
十六进制	0~F	整数除16取余，小数乘16取整

2. 二进制、八进制、十六进制转十进制

• 二进制转十进制：以小数点为标准，
  整数部分从左往右每位权值为$2^0、2^1、2^2$依次递增；
  小数部分从右往左每位权值为$2^{-1}、2^{-2}、2^{-3}$依次递减。
• 八进制转十进制：以小数点为标准，
  整数部分从左往右每位权值为$8^0、8^1、8^2$依次递增；
  小数部分从右往左每位权值为$8^{-1}、8^{-2}、8^{-3}$依次递减。
• 十六进制转十进制：以小数点为标准，
  整数部分从左往右每位权值为$16^0、16^1、16^2$依次递增；
  小数部分从右往左每位权值为$16^{-1}、16^{-2}、16^{-3}$依次递减。
• 八进制、十六进制转十进制:将数据先分组后，采用二进制转十进制方法对每位进行计算

3. 二进制、八进制、十六进制转换

  将八进制数据和十六进制数据对应不同的二进制位数进行计算即可。

进制	对应位数	数值
八进制	3位二进制位	0~7
十六进制	4位二进制位	0~F