算法提高之搜索：BFS中的双向广搜和A-star

1、双向广搜

1.1、字串变换

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

//规则数 最多是6
const int N = 6;

//记录有多少个规则
int n;
//起点和终点
string A, B;
//规则
string a[N], b[N];

//扩展的时候扩展一层
int extend(queue<string>& q, unordered_map<string, int>&da, unordered_map<string, int>& db, 
    string a[N], string b[N])
{
    //把和队首元素距离一样的元素全部扩展一遍
    int d = da[q.front()];
    while (q.size() && da[q.front()] == d)
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        //枚举所有规则
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            //枚举子串
            for (int j = 0; j < t.size(); j ++ )
            //当前子串中的一部分和规则是否匹配
                if (t.substr(j, a[i].size()) == a[i])
                {
                    //能匹配->扩展 前边照搬，中间改变，后边照搬
                    //t.substr（0，j）获得字符串t中从第0位开始的长度为j的字符串
                    //t.substr(j + a[i].size()) 从j + a[i].size()位开始枚举，一直枚举到最后
                    string r = t.substr(0, j) + b[i] + t.substr(j + a[i].size());
                    //现在是在a中做广搜，如果找到的结果在b中有，说明找到最后的结果了。
                    if (db.count(r)) return da[t] + db[r] + 1;
                    //说明在a中r已经搜过了，不能重复搜索
                    if (da.count(r)) continue;
                    //如果在a中没搜过 则插入
                    da[r] = da[t] + 1;
                    q.push(r);
                }
    }
    //没有搜到 返回大于10的数 表示无解
    return 11;
}

int bfs()
{
    if (A == B) return 0;
    //双向bfs 定义两个队列和两个距离
    queue<string> qa, qb;
    unordered_map<string, int> da, db;

    qa.push(A), qb.push(B);
    da[A] = db[B] = 0;

    int step = 0;
    //假如qa空，起点搜，全部搜完没有到终点->无解。
    while (qa.size() && qb.size())
    {
        //t表示答案中的距离
        int t;
        //先扩展较小的队列 且每次只扩展一层(1个step)
        //扩展qa 距离数组是da 规则是把a->b
        if (qa.size() < qb.size()) t = extend(qa, da, db, a, b);
        //扩展qb 距离数组是db 规则是把b->a
        else t = extend(qb, db, da, b, a);

        if (t <= 10) return t;
        //扩展的步数不能超过10步
        if ( ++ step == 10) return -1;
    }

    return -1;
}

int main()
{
    cin >> A >> B;
    while (cin >> a[n] >> b[n]) n ++ ;

    int t = bfs();
    if (t == -1) puts("NO ANSWER!");
    else cout << t << endl;

    return 0;
}

2、A-star

估计函数应该>=0

2.1、第k短路

#include 
#include 
#include 
#include 

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, PII> PIII;

const int N = 1010, M = 200010;

int n, m, S, T, K;
int h[N], rh[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
//cnt表示中间遍历几次
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int h[], int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void dijkstra()
{
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, T});

    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[T] = 0;

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.y;
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = rh[ver]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}

int astar()
{
    priority_queue<PIII, vector<PIII>, greater<PIII>> heap;
    heap.push({dist[S], {0, S}});

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.y.y, distance = t.y.x;
        cnt[ver] ++ ;
        if (cnt[T] == K) return distance;

        for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
             /* 
            如果走到一个中间点都cnt[j]>=K，则说明j已经出队k次了，且astar()并没有return distance,
            说明从j出发找不到第k短路(让终点出队k次)，
            即继续让j入队的话依然无解，
            那么就没必要让j继续入队了
            */
            if (cnt[j] < K)
            //想找到第k短路，不论大小，全部加进来，让小根堆去处理
                heap.push({distance + w[i] + dist[j], {distance + w[i], j}});
        }
    }

    return -1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(rh, -1, sizeof rh);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(h, a, b, c);
        add(rh, b, a, c);
    }
    scanf("%d%d%d", &S, &T, &K);
    //至少包含一条边
    if (S == T) K ++ ;

    dijkstra();
    printf("%d\n", astar());

    return 0;
}

2.2、八数码

估价函数的取法：是保证当前状态的估计距离小于等于当前状态到终点的真实距离。原因是每个点不可能直接按照曼哈顿距离移动到他想去的位置。需要迂回一下才能到。因此估价函数取曼哈顿距离一定小于真实距离。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int f(string state)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < state.size(); i ++ )
        if (state[i] != 'x')
        {
            int t = state[i] - '1';
            res += abs(i / 3 - t / 3) + abs(i % 3 - t % 3);
        }
    return res;
}

string bfs(string start)
{
    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
    char op[4] = {'u', 'r', 'd', 'l'};

    string end = "12345678x";
    unordered_map<string, int> dist;
    unordered_map<string, pair<string, char>> prev;
    //第一维是实际距离+估计距离，第二维是状态
    priority_queue<pair<int, string>, vector<pair<int, string>>, greater<pair<int, string>>> heap;

    heap.push({f(start), start});
    dist[start] = 0;

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        string state = t.second;

        if (state == end) break;

        int step = dist[state];
        int x, y;
        for (int i = 0; i < state.size(); i ++ )
            if (state[i] == 'x')
            {
                x = i / 3, y = i % 3;
                break;
            }
        string source = state;
        for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        { 
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if (a >= 0 && a < 3 && b >= 0 && b < 3)
            {
                swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);
                if (!dist.count(state) || dist[state] > step + 1)
                {
                    dist[state] = step + 1;
                    prev[state] = {source, op[i]};
                    heap.push({dist[state] + f(state), state}); 
                }
                swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);
            }
        }
    }

    string res;
    while (end != start)
    {
        res += prev[end].second;
        end = prev[end].first;
    }
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}

int main()
{
    //g是包含x的序列
    //seq不包含x的序列 用来计算逆序对
    string g, c, seq;
    while (cin >> c)
    {
        g += c;
        if (c != "x") seq += c; 
    }
    //计算逆序对的数量
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < seq.size(); i ++ )
        for (int j = i + 1; j < seq.size(); j ++ )
            if (seq[i] > seq[j])
                t ++ ;

    if (t % 2) puts("unsolvable");
    else cout << bfs(g) << endl;

    return 0;
}