【算法笔记】差消法化简高阶递推方程示例：计算快速排序平均时间复杂度

快速排序代码如下：

void quickSort(int a*, int p, int r)
{
    if(p < r)
    {
        int q = partition(a, p, r); //划分
        quickSort(a, p, q-1);
        quickSort(a, q+1, r);
    }
}

每一趟的工作量 = 子问题的工作量 + 划分的工作量（即划分的比较次数）
下图展示了n种可能的输入：

每一次划分的比较次数为 n-1，则工作量总和有：

上述工作量总和可简写为

假设首元素排好序在每个位置是等概率的，则有:

---

下面利用差消法化简上述递推方程，即

首先，两边同时乘n，有

将带入，得：

为了灭掉，得：

也就是：

对两边同时除以得

对向下写出所有等式：

迭代求解，将这些等式带回去得：

因为，

所以，

综上，

---

参考资料：https://www.icourse163.org/course/PKU-1002525003