Fibonacci （hdu1568）数学公式

Fibonacci

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Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

 

 

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

 

 

Output

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

 

 

Sample Input

0

1

2

3

4

5

35

36

37

38

39

40

 

 

Sample Output

0

1

1

2

3

5

9227

1493

2415

3908

6324

1023

 

数学公式哈！

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

 

 

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cstdio>

using namespace std;

int fib[40];

int main()

{

    fib[1]=1;

    fib[0]=0;

    int i;

    for(i=2;i<21;++i)

        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];

    int n,ans;

    double p,f;

    f=(1.0+sqrt(5.0))/2.0;

    while(scanf("%d",&n)==1)

    {

        if(n<21)

        {

            printf("%d\n",fib[n]);

            continue;

        }

        p=-0.5*log10(5.0)+n*1.0*log(f)/log(10.0);

        p=p-floor(p);

        p=pow(10.0,p);

        while(p<1000)

            p*=10;

        printf("%d\n",(int)p);

    }

    return 0;

}