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图论经典问题（拓扑排序、最短路径、最小生成树）

拓扑排序

G是有n个顶点的有向图，G的拓扑排序是对G的每条边来说G的顶点的顺序，这种情况下i

在有向图中以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系，这样的图称为AOV网。拓扑排序就是将各活动排一个先后次序

命题：G有一个拓扑排序当且仅当它是非循环的

做法：1.从有向图中选一个没有前驱的顶点，并且输出 2.删除该顶点以及以它为起点的边。重复这两个步骤。直到找不到没有前驱的点

应用： - 判断是否有环（无环图的所有点都能进行拓扑排序） - 课程安排问题

代码： ？

最短路径

定义G为加权图，路径的长度（或权重）是P的边的权重的总和。图中顶点u到顶点v之间的距离表示为，是从u到v之间长度最短的路径，如果这样的路径存在的话

Dijkstra算法

我们对V中的每个顶点定义一个标签，存储目前为止从到找到的最好的路径的长度。首先，对每个并且，然后定义集合，初始状态下是空集合。在算法的每次迭代总，选择不在中有最短的标签的顶点，然后把放进。一旦新顶点被放进中，接下来更新每个邻近并且在之外的顶点v的标签

最小生成树

问题定义：对于一个无向有权的图G，我们希望找到一棵树，它包含G中的所有顶点，并最小化权重总和

这样的包括连通图G的每个顶点的树被称为生成树，计算一棵有最小权重总和的生成树T的问题称为最小生成树（MST）问题

命题：是一个有权重的连通的图，令和是两个不相交的非空集合的的顶点的一部分。令是那些一个端点在另一个端点在的有最小权重的的边。这就是一棵最小生成树，是它的一条边。

如果G的权重是不同的，那么最小生成树是唯一的

Prim-Jarnik算法

贪心准则——加入后仍形成树，且耗费最小

算法过程：1.从单一顶点的树T开始 2.不断加入耗费最小的边(u,v)，使T∪(u,v)仍为树

Kruskal算法

找最短的边，连接了AB，判断AB是否被已选的边连在一起，如果是就不选这条边

实现的方法——并查集

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