（5.1）James Stewart Calculus 5th Edition：Areas and Distances

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Areas and Distances 面积和距离

一些面积或者距离相关的问题

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The Area Problem 面积问题

通过图中的 y = f(x) ，可以大致知道：
有界且连续的函数f(x)，有 a <=x <= b，有 f(x) >=0
也就是

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面积相关

通常想到面积，我们就可以想到

对应的四边形面积，
再就是多边形面积，转化成 三角形面积的和

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曲线相关的面积

这个时候，如果有一个边是曲线
那么我们就不能用上面的四边形或者三角形的方式求出很精确的值了

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例子
例如：
y = x^2 ，对应 x从0到1区域 的面积

如果，我们把x分成4段，对应的图像应该是

如果，高取右边的点
面积大致为：

我们可以求得对应的面积的近似值为：

明显，我们发现面积应该没有这么大。

但是，如果我们还是分成4段，高度用左边的点
面积大致为：

我们可以求得对应的面积的近似值为：

虽然都不太准确
但是，我们可以知道，对应的面积范围：

这个时候，如果我们取8段

对应的范围会更小：

当段数很大的时候，我们可以见下表：

可以发现，对应的近似值：

如果都取右边的点，分为n段，图像大体为：

具体的值，大体为：

对应的证明
对应的求和，大体为：

而，我们可以知道，平方和公式：

所以，对应的求和，可以转化为：

求极限，得：

即：

同理，如果都取左边的点，分为n段，对应的结果也是一样（这里略）
最后有结果：

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用Δ表示面积

如果分成n段，每一段的长度如果用Δ表示，则

那每个点的坐标为：

图像大体为：

可以简写成：

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定理2

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用∑表示求和

这里我们用对应矩形和f(x)的交点，叫做 sample points 采样点

具体应该好理解，当n很大的时候， 如果全部取左边的点 和 全部取右边的点，对应的极限值是一样的。
现在这些 sample points 采样点是在 左边的点 和 右边的点 之间的。
所以，对应的极限值，也是正确的。
这个时候，对应的面积A，可以写成：

用∑表示：

因为对应的Δx的值都是一样的。
所以，
左边的点，右边的点， sample points 采样点 分别可以表示为：

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The Distance Problem 距离问题

一般情况，对应的公式为：

而对应的速度是在变化的，这个时候，我们也可以用当时的速度 x 较短的时间，即：

当取n个点的时候，对应的距离为：
（取左边的点）

（取右边的点）

（用前面的 sample points 采样点）