算法导论课后习题解析 第一章

最近开始看算法导论了，但是发现官方给的参考答案只涵盖了一部分的习题，所以把自己做的答案分享一下，如有错误之处尽管指出，希望通过这个过程能与大家共同进步

我看的版本是英文第三版 (Introduction to Algorithms, Third Edition)，所有的题目分为每一节后的练习(Exercises)和每一章后的问题(Problems)，所有的题目编号都按照书上的编号来。比如1.1-1表明第一章第一节的练习题第一题，1-1表明第一章的问题的第一题。

1.1-1
需要排序的问题现实中一抓一大把，比如NBA常规赛东西部前八名才能进季后赛，那么要找出前八名来，就得按积分排序了。
再比如要使用二分查找，就必须对一个有序的序列进行，为了保证序列有序，就得进行排序了。
总之，排序算法是非常基础的算法，很多算法都需要依赖于排序的结果或者思想。

1.1-2
除了运行速度，需要的存储空间也是非常重要的性能指标。比如说你发明了一个算法对于某个输入能在10s内执行完毕，需要1K的内存，而别人的算法能在5s钟内完成，却需要1G的内存，在存储空间非常有限的情况下你的算法是非常有意义的。

1.1-3
以顺序表为例

• 优点：实现简单，不需要额外空间开销，能够随机访问元素，在尾部添加删除效率很高，连续存放不易产生内存碎片
• 缺点：在中间插入或删除需要移动后面的元素，最大容量难以改变

1.1-4
最短路径(shortest-path)和旅行商(traveling-salesman)问题都是图的经典问题，都需要找到一个满足要求的图的定点序列，使得该序列间边的权重和最小。
它们的不同之处在于复杂度，最短路径的复杂度为多项式复杂度，而旅行商的复杂度为阶乘复杂度，属于NP-complete问题。

1.1-5
需求最佳解(best solution)的问题有很多，比如上面提到的排序问题，只有积分前8的球队才能进入季后赛，而不可能是积分接近前八的球队进入季后赛。
只需要接近解(approximately)的问题也很多，比如我们去买苹果，我们不需要对所有的苹果按照质量好坏进行排序，只需要挑出比较好的几个即可。

1.2-1
比较多个文件是否完全相同可以先对每个文件按照某种hash算法生成一个key，然后比较每个文件生成的key来检查文件是否相同。
常用的hash算法有MD5和SHA1。

1.2-2
算出插入排序(insertion sort)和归并排序(merge sort)运行时间相同时输入的规模即可
$\eqalign { 8 n^2 & = 64 n \lg n \\ n & = 8 \lg n \\ n & \approx 43 }$
所以，当n大于43的时候归并排序的效率要大于插入排序。

1.2-3
同1.2-2

$\eqalign { 100 n^2 & = 2^n \\ 100 * 14^2 & = 19600 > 16384 = 2^{14} \\ 100 * 15^2 & = 22500 < 32768 = 2^{15} }$

所以n=15为所求

1-1

	second	minute	hour	day	mouth	year	century
$\lg n$	$10^{10^9}$	-	-	-	-	-	-
$\sqrt n$	$10^{18}$	$10^{22}$	$10^{24}$	$10^{28}$	$10^{30}$	$10^{32}$	$10^{36}$
$n$	$10^9$	$10^{11}$	$10^{12}$	$10^{14}$	$10^{15}$	$10^{16}$	$10^{18}$
$n \lg n$	$10^8$	$10^{10}$	$10^{11}$	$10^{12}$	$10^{13}$	$10^{14}$	$10^{16}$
$n^2$	$30000$	$10^6$	$10^6$	$10^7$	$10^7$	$10^8$	$10^9$
$n^3$	$1000$	$10^4$	$10^4$	$10^4$	$10^5$	$10^5$	$10^6$
$2^n$	$30$	$38$	$45$	$50$	$55$	$59$	$65$
$n!$	$12$	$13$	$15$	$16$	$18$	$19$	$20$

带'-'的表示数量太大，已经没有意义了。
这道题主要是让大家直观地了解各个复杂度随输入增长的变化程度。