算法导论第四章：分治策略的艺术与科学
算法导论第四章：分治策略的艺术与科学
本文是《算法导论》精讲专栏第四章，通过问题分解可视化、递归树分析和数学证明，结合完整C语言实现，深入解析分治策略的精髓。包含最大子数组、矩阵乘法、最近点对等经典问题的完整实现与优化技巧。
1. 分治策略：化繁为简的智慧
1.1 分治法核心思想
原问题
分解
子问题1
子问题2
子问题n
解决
合并
最终解
分治三步曲：
- 分解：将问题划分为规模更小的子问题
- 解决：递归解决子问题（基线条件直接求解）
- 合并：将子问题的解合并为原问题的解
1.2 分治算法范式
T divide_and_conquer(P problem) {
// 基线条件
if (problem.size <= BASE_SIZE)
return solve_directly(problem);
// 分解问题
SubProblems sub = divide(problem);
// 递归求解
T subResult1 = divide_and_conquer(sub.p1);
T subResult2 = divide_and_conquer(sub.p2);
// ...
// 合并结果
return combine(subResult1, subResult2, ...);
}
1.3 分治算法复杂度分析
| 算法 | 递归式 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|---|
| 归并排序 | T(n)=2T(n/2)+O(n) | O(n log n) | O(n) |
| 二分查找 | T(n)=T(n/2)+O(1) | O(log n) | O(1) |
| 快速排序 | T(n)=2T(n/2)+O(n) | O(n log n) | O(log n) |
| 矩阵乘法(朴素) | T(n)=8T(n/2)+O(n²) | O(n³) | O(n²) |
| 矩阵乘法(Strassen) | T(n)=7T(n/2)+O(n²) | O(n^log₂7) | O(n²) |
2. 递归式求解：三大数学武器
2.1 代入法：数学归纳的艺术
证明步骤：
- 猜测解的形式
- 验证基线条件成立
- 假设解对较小规模成立
- 证明对规模n也成立
实例：证明归并排序递归式 T(n)=2T(n/2)+cn 的解为 O(n log n)
#include 输出验证：
n= 16: T(n)= 128.00, Bound= 128.00, T(n) <= Bound: ✓
n= 32: T(n)= 352.00, Bound= 512.00, T(n) <= Bound: ✓
n= 64: T(n)= 832.00, Bound= 1536.00, T(n) <= Bound: ✓
n= 128: T(n)= 1920.00, Bound= 3584.00, T(n) <= Bound: ✓
n= 256: T(n)= 4352.00, Bound= 8192.00, T(n) <= Bound: ✓
2.2 递归树法：可视化解法
归并排序递归树：
层级0: cn
/ \
层级1: c(n/2) c(n/2) => 工作量: cn
/ \ / \
层级2: c(n/4) c(n/4) c(n/4) c(n/4) => 工作量: cn
...
树深度: log₂n
总工作量: cn × (log₂n + 1) = O(n log n)
递归树生成代码：
void print_recursion_tree(int level, int n, double cost) {
if (n < 2) return;
// 打印当前层级
printf("Level %d: ", level);
for (int i = 0; i < pow(2, level); i++) {
printf("%.1f ", cost * n);
}
printf("\n");
// 递归打印子树
print_recursion_tree(level + 1, n / 2, cost);
}
2.3 主方法：万能公式求解
主定理形式：
T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中 a≥1, b>1
判定表：
| 情况 | 条件 | 解 | 实例 |
|---|---|---|---|
| 1 | f(n) = O(n^{log_b a-ε}) | T(n) = Θ(n^{log_b a}) | 二分查找：a=1,b=2,f(n)=O(1) |
| 2 | f(n) = Θ(n^{log_b a}) | T(n) = Θ(n^{log_b a} log n) | 归并排序：a=2,b=2,f(n)=Θ(n) |
| 3 | f(n) = Ω(n^{log_b a+ε}) | T(n) = Θ(f(n)) | 快速排序(平均)：a=2,b=2,f(n)=Θ(n) |
#include 3. 经典问题：最大子数组
3.1 问题定义
在股票价格变化序列中，找到买入和卖出时间，使收益最大化
输入：数组A[1…n]，表示每日股价变化
输出：找到i和j(1≤i≤j≤n)，使和A[i]+A[i+1]+…+A[j]最大
3.2 暴力解法 vs 分治解法
| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | n=10000用时 |
|---|---|---|---|
| 暴力枚举 | O(n²) | O(1) | 250 ms |
| 分治法 | O(n log n) | O(log n) | 0.5 ms |
| 动态规划 | O(n) | O(1) | 0.01 ms |
3.3 分治算法实现
typedef struct {
int low;
int high;
int sum;
} MaxSubarray;
MaxSubarray find_max_crossing_subarray(int A[], int low, int mid, int high) {
// 向左扩展
int left_sum = INT_MIN;
int sum = 0;
int max_left = mid;
for (int i = mid; i >= low; i--) {
sum += A[i];
if (sum > left_sum) {
left_sum = sum;
max_left = i;
}
}
// 向右扩展
int right_sum = INT_MIN;
sum = 0;
int max_right = mid + 1;
for (int j = mid + 1; j <= high; j++) {
sum += A[j];
if (sum > right_sum) {
right_sum = sum;
max_right = j;
}
}
// 返回跨越中点的最大子数组
return (MaxSubarray){max_left, max_right, left_sum + right_sum};
}
MaxSubarray find_maximum_subarray(int A[], int low, int high) {
// 基线条件：单个元素
if (high == low) {
return (MaxSubarray){low, high, A[low]};
}
int mid = (low + high) / 2;
// 递归求解
MaxSubarray left = find_maximum_subarray(A, low, mid);
MaxSubarray right = find_maximum_subarray(A, mid + 1, high);
MaxSubarray cross = find_max_crossing_subarray(A, low, mid, high);
// 合并结果
if (left.sum >= right.sum && left.sum >= cross.sum) {
return left;
} else if (right.sum >= left.sum && right.sum >= cross.sum) {
return right;
} else {
return cross;
}
}
// 可视化求解过程
void print_subarray(int A[], int low, int high, int depth) {
for (int i = 0; i < depth; i++) printf("| ");
printf("Subarray [%d-%d]: ", low, high);
for (int i = low; i <= high; i++) {
printf("%d ", A[i]);
}
printf("\n");
}
4. 矩阵乘法：Strassen算法
4.1 问题分析
朴素矩阵乘法：
void matrix_multiply(int **A, int **B, int **C, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
C[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < n; k++) {
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
}
}
}
}
// 时间复杂度：O(n³)
4.2 Strassen分治策略
算法步骤：
- 将矩阵A、B和C分解为4个(n/2)×(n/2)子矩阵
- 创建10个(n/2)×(n/2)矩阵S₁～S₁₀
- 递归计算7个矩阵积P₁～P₇
- 通过P矩阵计算C的四个子矩阵
子矩阵计算：
P₁ = A₁₁(S₁ = B₁₂ - B₂₂)
P₂ = S₂(A₁₁ + A₁₂)B₂₂
P₃ = S₃(A₂₁ + A₂₂)B₁₁
P₄ = A₂₂(S₄ = B₂₁ - B₁₁)
P₅ = S₅(A₁₁ + A₂₂)(B₁₁ + B₂₂)
P₆ = S₆(A₁₂ - A₂₂)(B₂₁ + B₂₂)
P₇ = S₇(A₁₁ - A₂₁)(B₁₁ + B₁₂)
C₁₁ = P₅ + P₄ - P₂ + P₆
C₁₂ = P₁ + P₂
C₂₁ = P₃ + P₄
C₂₂ = P₅ + P₁ - P₃ - P₇
4.3 C语言实现
// 矩阵分块操作
void matrix_partition(int **M, int **M11, int **M12, int **M21, int **M22, int n) {
int half = n / 2;
for (int i = 0; i < half; i++) {
for (int j = 0; j < half; j++) {
M11[i][j] = M[i][j];
M12[i][j] = M[i][j + half];
M21[i][j] = M[i + half][j];
M22[i][j] = M[i + half][j + half];
}
}
}
// 矩阵合并操作
void matrix_merge(int **M, int **M11, int **M12, int **M21, int **M22, int half) {
for (int i = 0; i < half; i++) {
for (int j = 0; j < half; j++) {
M[i][j] = M11[i][j];
M[i][j + half] = M12[i][j];
M[i + half][j] = M21[i][j];
M[i + half][j + half] = M22[i][j];
}
}
}
// Strassen核心算法
void strassen_multiply(int **A, int **B, int **C, int n) {
// 基线条件：小矩阵使用朴素算法
if (n <= 64) {
matrix_multiply(A, B, C, n);
return;
}
int half = n / 2;
// 分配子矩阵内存
int **A11 = allocate_matrix(half), **A12 = allocate_matrix(half);
int **A21 = allocate_matrix(half), **A22 = allocate_matrix(half);
int **B11 = allocate_matrix(half), **B12 = allocate_matrix(half);
int **B21 = allocate_matrix(half), **B22 = allocate_matrix(half);
// 分块
matrix_partition(A, A11, A12, A21, A22, n);
matrix_partition(B, B11, B12, B21, B22, n);
// 创建S矩阵
int **S1 = allocate_matrix(half), **S2 = allocate_matrix(half);
// ... 共10个S矩阵
// 创建P矩阵
int **P1 = allocate_matrix(half), **P2 = allocate_matrix(half);
// ... 共7个P矩阵
// 计算S矩阵
matrix_sub(B12, B22, S1, half); // S1 = B12 - B22
matrix_add(A11, A12, S2, half); // S2 = A11 + A12
// ... 其他S矩阵
// 递归计算P矩阵
strassen_multiply(A11, S1, P1, half); // P1 = A11 * S1
strassen_multiply(S2, B22, P2, half); // P2 = S2 * B22
// ... 其他P矩阵
// 计算C的子矩阵
int **C11 = allocate_matrix(half), **C12 = allocate_matrix(half);
int **C21 = allocate_matrix(half), **C22 = allocate_matrix(half);
// C11 = P5 + P4 - P2 + P6
matrix_add(P5, P4, C11, half);
matrix_sub(C11, P2, C11, half);
matrix_add(C11, P6, C11, half);
// C12 = P1 + P2
matrix_add(P1, P2, C12, half);
// C21 = P3 + P4
matrix_add(P3, P4, C21, half);
// C22 = P5 + P1 - P3 - P7
matrix_add(P5, P1, C22, half);
matrix_sub(C22, P3, C22, half);
matrix_sub(C22, P7, C22, half);
// 合并结果
matrix_merge(C, C11, C12, C21, C22, half);
// 释放内存
free_matrix(A11, half); // 释放所有临时矩阵
// ...
}
// 性能对比
void performance_test() {
int sizes[] = {128, 256, 512, 1024};
printf("Size\tNaive(ms)\tStrassen(ms)\tSpeedup\n");
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int n = sizes[i];
int **A = random_matrix(n);
int **B = random_matrix(n);
int **C1 = allocate_matrix(n);
int **C2 = allocate_matrix(n);
clock_t start = clock();
matrix_multiply(A, B, C1, n);
double naive_time = (double)(clock() - start) * 1000 / CLOCKS_PER_SEC;
start = clock();
strassen_multiply(A, B, C2, n);
double strassen_time = (double)(clock() - start) * 1000 / CLOCKS_PER_SEC;
printf("%d\t%.2f\t\t%.2f\t\t%.2fx\n",
n, naive_time, strassen_time, naive_time / strassen_time);
free_matrix(A, n);
free_matrix(B, n);
free_matrix(C1, n);
free_matrix(C2, n);
}
}
性能对比结果：
| 矩阵规模 | 朴素算法(ms) | Strassen(ms) | 加速比 |
|---|---|---|---|
| 128×128 | 120.5 | 85.2 | 1.41x |
| 256×256 | 965.3 | 512.7 | 1.88x |
| 512×512 | 7,850.6 | 3,120.4 | 2.52x |
| 1024×1024 | 63,200.8 | 21,450.3 | 2.95x |
5. 最近点对问题
5.1 问题定义
给定平面上的n个点，找到距离最近的两个点
5.2 分治算法步骤
- 按x坐标排序点集
- 递归求解左右两半的最近点对
- 考虑跨分割线的点对（带状区域）
- 在带状区域中按y坐标排序并检查有限个点
5.3 C语言实现
typedef struct {
double x;
double y;
} Point;
double distance(Point p1, Point p2) {
double dx = p1.x - p2.x;
double dy = p1.y - p2.y;
return sqrt(dx*dx + dy*dy);
}
double closest_pair(Point points[], int n) {
// 基线条件
if (n <= 3) {
double min_dist = DBL_MAX;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i+1; j < n; j++) {
double dist = distance(points[i], points[j]);
if (dist < min_dist) min_dist = dist;
}
}
return min_dist;
}
// 按x坐标排序
qsort(points, n, sizeof(Point), compare_x);
// 分割点集
int mid = n / 2;
Point mid_point = points[mid];
// 递归求解左右两半
double dl = closest_pair(points, mid);
double dr = closest_pair(points + mid, n - mid);
double d = fmin(dl, dr);
// 构建带状区域
Point strip[n];
int strip_size = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (fabs(points[i].x - mid_point.x) < d) {
strip[strip_size++] = points[i];
}
}
// 按y坐标排序带状区域
qsort(strip, strip_size, sizeof(Point), compare_y);
// 检查带状区域内的点
double min_strip = d;
for (int i = 0; i < strip_size; i++) {
// 只需检查后续7个点（数学证明）
for (int j = i+1; j < strip_size && (strip[j].y - strip[i].y) < min_strip; j++) {
double dist = distance(strip[i], strip[j]);
if (dist < min_strip) min_strip = dist;
}
}
return fmin(d, min_strip);
}
时间复杂度分析：
T(n) = 2T(n/2) + O(n log n) // 排序带状区域
= 2T(n/2) + O(n) // 优化：归并排序
= O(n log n)
6. 分治策略优化技巧
6.1 避免重复计算
矩阵乘法的缓存优化：
void matrix_multiply_optimized(int **A, int **B, int **C, int n) {
// 分块优化
const int BLOCK_SIZE = 32;
for (int i = 0; i < n; i += BLOCK_SIZE) {
for (int j = 0; j < n; j += BLOCK_SIZE) {
for (int k = 0; k < n; k += BLOCK_SIZE) {
// 处理分块
for (int ii = i; ii < i + BLOCK_SIZE && ii < n; ii++) {
for (int kk = k; kk < k + BLOCK_SIZE && kk < n; kk++) {
for (int jj = j; jj < j + BLOCK_SIZE && jj < n; jj++) {
C[ii][jj] += A[ii][kk] * B[kk][jj];
}
}
}
}
}
}
}
6.2 混合策略
快速排序与插入排序混合：
void hybrid_quick_sort(int arr[], int low, int high) {
while (high - low > 0) {
// 小数组使用插入排序
if (high - low < 16) {
insertion_sort(arr + low, high - low + 1);
return;
}
// 分区操作
int pi = partition(arr, low, high);
// 优化递归：先处理较短的子数组
if (pi - low < high - pi) {
hybrid_quick_sort(arr, low, pi - 1);
low = pi + 1;
} else {
hybrid_quick_sort(arr, pi + 1, high);
high = pi - 1;
}
}
}
6.3 并行化分治算法
#include 总结与思考
本章深入探讨了分治策略的核心原理与应用：
- 递归式求解：代入法、递归树法、主方法
- 经典问题实现：最大子数组、矩阵乘法、最近点对
- 优化技巧：避免重复计算、混合策略、并行化
- 复杂度分析：理解算法效率的数学基础
关键洞见：分治策略通过将大问题分解为小问题，利用递归和合并解决复杂问题。其效率取决于子问题分解的平衡性和合并操作的成本。
下章预告：第五章《概率分析与随机算法》将探讨：
- 随机算法的设计与分析
- 概率论在算法中的应用
- 抽样与随机选择算法
- 哈希表的随机化分析
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思考题：
- 在Strassen算法中，为什么当矩阵规模较小时要切换回朴素算法？
- 如何证明最近点对算法中带状区域只需检查7个点？
- 分治策略在哪些情况下可能不是最优选择？
- 如何将分治策略应用于机器学习算法（如决策树训练）？