Codeforces Round #701 C. Floor and Mod 数学推导

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题意

$给一个x和y，求\lfloor \frac{a}{b}\rfloor =amodb成立的个数。$
$1\le a\le x1\le b\le y$

思路

$显然这题是围绕\lfloor \frac{a}{b}\rfloor =amodb.$
$没有限制的话，会有b-1个（0不存在）。$

$我们可以手推出\frac{3}{2},\frac{4}{3}都可以，并且\frac{8}{3}也可以。$
$所以\frac{b+1}{b}=1，\frac{2(b+1)}{b}=2等等。$

$所以我们得出来\frac{k(b+1)}{b}=k=amodb。k(b+1)\le a$

$枚举b，但是题目是有限制条件的，取min就行。$

$$\sum _{i=2}^{b}min(i-1,\frac{a}{i+1})$$

$首先要算一下中间值i-1=\frac{a}{i+1},i=\sqrt{a+1}，最后得：$

$$\sum _{i=2}^{\sqrt{a+1}}i-1+\sum _{i=\sqrt{a+1}+1}^b\frac{a}{i+1}$$

$前半部分就等差数列求和，后半部分整除分块即可。$

Code（62MS）

#include "bits/stdc++.h"
 using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
 
void solve() {
     
 
    int _; cin >> _;
    while(_--) {
     
        ll a, b; cin >> a >> b;
        ll ans = 0;
        ll t = sqrt(a + 1);
        if(t > b) {
     
            t = b;
            ans += t * (t - 1) / 2;
        }
        else {
     
            ans += t * (t - 1) / 2;
            for (ll l = t + 1, r; l <= min(a, b); l = r + 1) {
     
                if (a / (l + 1) == 0) break;
                else r = min(b, min(a, a / (a / (l + 1)) - 1));
                ans += (r - l + 1) * (a / (l + 1));
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
}
 
signed main() {
     
    solve();
}