中科大-凸优化 笔记（lec1）-综述、简介优化问题

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一、优化问题的一般形式

优化/数学规划（optimization/Mathematical Programming）
从一个可行解的集合中，寻找最优的元素。

从数学上看，任意一个优化问题都可以写成这样的形式，
$$\begin{gathered} \underset{x}{\min }{f}_0(x) \\ subjectto{f}_i(x)\le b_i,i=1,\cdots ,m \\ x=[x_1,\cdots ,x_n{]}^T优化变量（OptimizationVariable） \\ {f}_0:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}目标函数（ObjectiveFunction） \\ {f}_i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}不等式约束（InequalityConstrant） \\ {x}^{\ast }最优（optimal）⟺\forall z,z\in \{f_i(z)\le b_i,i=1,\cdots ,m\}（可行解集feasibleset）f_0(z)\ge f_0(x^{\ast }) \end{gathered}$$

• 数据拟合问题
  
  $$\begin{gathered} y=a{x}^2+bx+c \\ minimize{\epsilon }_1^2+{\epsilon }_2^2+\cdots +{\epsilon }_n^2 \\ {\epsilon }_i=y_i-(a{x}_i^2+b{x}_i+c),i=1,\cdots ,n \end{gathered}$$

（后面讲的都是专业不想关的例子，就直接跳过了…线性二次调节器、多用户能量控制问题、极大化网络流量、图像处理（TV范数）、超大规模集成电路设计）

• 最短路径问题
  
  $\{V,E\}$$$\begin{gathered} \min \sum _{(i.j)\in E}{w}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.x_{ij}=0or1(是否选择边(i,j))(x_{ij}\ge 0) \\ \sum _j{x}_{ij}-\sum _j{x}_{ji}=(出边-进边=)\{\begin{array}{c}1i=s(源结点)\\ -1i=d(目标结点)\\ 0otherwise\end{array} \end{gathered}$$

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