CodeForces 294C-Shaass and Lights(组合数学)

CodeForces 294C-Shaass and Lights

题目原址

[http://codeforces.com/problemset/problem/294/C]

题意

现在有一行灯，有些是开着的，有些是关着的，你要把所有灯都打开，你每次只能打开一盏灯，且这盏灯的左右相邻的灯中至少有一盏是亮着的，问你有多少种不同的方法来把所有灯打开。

题解

把每关一次灯看做成一种操作，那么显然要操作的次数等同于灭着的灯的次数。
然后是，把每盏亮着的灯看成是分割线，那么就可以把所有灭着的灯变成一个个的区间(长度可以为0)，每个区间的长度为 $a[i]-a[i-1]-1$ ，那么要使得这个区间的灯全部变量，就需要在这个区间上操作 $a[i]-a[i-1]-1$ 次。
除了最后一次操作，你每次都可以选择关上这个区间左边的灯或关上这个区间右边的灯，那么对于每个区间就有 $2^{len-1}$ 种不同的方法来把这个区间的灯全部打开。
位于两边的区间是特别的，在最左边的区间只能从右边操作，而在最右边的区间只能从左边操作，(如果没有，则视为是长度为0的区间)。
之后就是从剩下的总的次数中取出当前区间长度的位置，并更新当前的剩下的总的次数，把他们的结果相乘，再和每个区间的不同方法相乘，得到的就是总的次数。
第三个样例的计算方法是：$$ans=C_9^3\ast 1\ast C_6^3\ast 2^2\ast C_3^3\ast 1$$
(本来我是求阶乘求逆元再相乘得到的组合数的，现在上网发现递推求逆元，代码简洁了不少)

代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1007;
const int mod=1e9+7;
int a[maxn];
ll fac[maxn],c[maxn][maxn];
ll posmod(ll a){
    return (a%mod+mod)%mod;
}
void calfac(){//fac[i]表示2^{i-1}次方，0除外
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
        fac[i]=posmod(fac[i-1]*2);
}
void calc(){//递推求组合数
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=posmod(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]);
    }
}
int main(){
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif // LOCAL
    ios::sync_with_stdio(false);
    int x,y;
    calfac();
    calc();
    while(cin>>x>>y){
        for(int i=1;i<=y;i++)
            cin>>a[i];
        sort(a+1,a+y+1);
        int left=x-y;
        ll ans=1;
        for(int i=1;i<=y;i++){//最后一个区间肯定是C_{x}^{x}的情况，就省去了
            ans=posmod(ans*c[left][a[i]-a[i-1]-1]);
            left-=a[i]-a[i-1]-1;
        }
        for(int i=2;i<=y;i++)
            ans=posmod(ans*fac[a[i]-a[i-1]-1]);
        cout<<ans<<endl;
    }
}