【Kickstart】2018 Round C - Kickstart Alarm
解法
就是数学优化+快速幂+除法取模结合在一起
首先，数学优化比较容易，最后肯定是要变成每遍历一个数就加一次。对于 a m a_m am，它可以是子数组里的第1,2,…,m个，而它是第i个的子数组一共有 ( N + 1 − m ) (N+1-m) (N+1−m)个，当计算 P O W E R j {POWER}_j POWERj时，它的系数就是 1 j 1^j 1j， 2 j 2^j 2j， 3 j 3^j 3j,…, m j m^j mj，所以最后 a m a_m am的系数为：
∑ j = 1 k ∑ i = 1 m ( N + 1 − m ) i j = ( N + 1 − m ) ∑ i = 1 m ∑ j = 1 k i j = ( N + 1 − m ) ∑ i = 1 m i ( i k − 1 ) i − 1 \sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^m(N+1-m)i^j\\ =(N+1-m)\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^ki^j\\ =(N+1-m)\sum_{i=1}^m\frac{i(i^k-1)}{i-1} j=1∑ki=1∑m(N+1−m)ij=(N+1−m)i=1∑mj=1∑kij=(N+1−m)i=1∑mi−1i(ik−1)
然后，显然对于 i k i^k ik那部分我们需要用快速幂来求
最后，对于 i ( i k − 1 ) i − 1 ( m o d p ) \frac{i(i^k-1)}{i-1}(mod\ p) i−1i(ik−1)(mod p)，它不能通过分子和分母都分别取余来求。
这里要用到费马小定理：
如果 a a a和 p p p互质，那么 a p − 1 ( m o d p ) = 1 a^{p-1}(mod\ p)=1 ap−1(mod p)=1
令 p = 1 0 9 + 7 p=10^9+7 p=109+7，它是个质数，那么有 ( i − 1 ) p − 1 ( m o d p ) = 1 (i-1)^{p-1}(mod\ p)=1 (i−1)p−1(mod p)=1
所以 i ( i k − 1 ) ( i − 1 ) p − 2 ( m o d p ) = i ( i k − 1 ) i − 1 ( m o d p ) i(i^k-1)(i-1)^{p-2}(mod\ p)=\frac{i(i^k-1)}{i-1}(mod\ p) i(ik−1)(i−1)p−2(mod p)=i−1i(ik−1)(mod p)
这样就可以分别算出每个因子mod p的值再相乘了
最后， ∑ i = 1 m \sum_{i=1}^m ∑i=1m算是一个前缀和，所以可以不用每次都循环
#include