poj2728-最小比率生成树/0-1分数规划/二分/迭代

题目意思：

有n个村庄，村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，只要两个村庄之间有一条路即可，建造水管距离为坐标之间的欧几里德距离，费用为海拔之差，现在要求方案使得费用与距离的比值最小，很显然，这个题目是要求一棵最优比率生成树。

 

0-1规划：

 

概念

有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).这显然是一个具有现实意义的问题.

解法之一 0-1分数规划

设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.

则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i

为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.

然后明确两个性质:

　1. z单调递减

　　证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.

　2. z( max(r) ) = 0

　　证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;

　　 若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.

代码：

if变量后面可以切换使用二分和迭代。if 0是二分，if 1是迭代，迭代300ms+，二分1400ms+

#include 
#include 
#include 
#include 

#define nMax 1050
#define inf 0x7fffffff
static double eps = 1e-4;
int vis[nMax],x[nMax],y[nMax],z[nMax],pre[nMax];
double dis[nMax],cost[nMax][nMax],dist[nMax][nMax];
int n;
double prim(double x)//普利姆算法求最小生成树
{
	double totalcost = 0, totaldist = 0;
	double sum = 0.0;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		pre[i] = 1;
	}
	dis[1] = 0;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	vis[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++ i)
	{
		dis[i] = cost[1][i] - dist[1][i] * x;
	}
	int k;
	for (int i = 2; i <= n; ++ i)
	{
		double minCost = inf;
		for (int j = 2; j <= n; ++ j)
		{
			if (!vis[j] && dis[j] < minCost)
			{
				minCost = dis[j];
				k = j;
			}
		}
		vis[k] = 1;
		sum += minCost;//for 二分
		totalcost += cost[pre[k]][k];
		totaldist += dist[pre[k]][k];
		for (int j = 1; j <= n; ++ j)
		{
			if (!vis[j] && dis[j] > cost[k][j] - dist[k][j] * x)
			{
				dis[j] = cost[k][j] - dist[k][j] * x;
				pre[j] = k;
			}
		}
	}
#if 0//0 for 二分， 1 for 迭代
	return totalcost / totaldist;
#else
	return sum;
#endif
	
}
int main()
{
	while (scanf("%d", &n), n)
	{
		for (int i = 1; i <= n; ++ i)
		{
			scanf("%d%d%d", &x[i], &y[i], &z[i]);
			for (int j = 1; j < i; ++ j)
			{
				double tmp = (x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j]);
				cost[i][j] = cost[j][i] = abs(z[i] - z[j]);//海拔
				dist[i][j] = dist[j][i] = sqrt(tmp);//欧式距离
			}
		}
		double a = 0;
#if 0//1为迭代，0为二分
		while (1)//迭代求最大值
		{
			double b = prim(a);
			if (abs(a - b) < eps)
			{
				printf("%.3f\n", a);
				break;
			}
			else
				a = b;
		}
#else
		double head = 0,tail = 100000.0;
		while (tail - head > 1e-5)
		{
			double mid = (head + tail) / 2.0;
			a = prim(mid);
			if (a >= 0)
			{
				head = mid;
			}
			else
				tail = mid;
		}
		printf("%.3f\n", tail);
#endif
	}
	return 0;
}