浅显易懂二分图-最大匹配，最小路径覆盖，最小点覆盖

正式的定义，网上一大把，但他们的作用是让人看不懂……

二分图：把点分成两个集合X,Y，使得图的边的两个端点总是分别落在X和Y上，不会有X中的点连向X中的点，不会有Y中的点连向Y中的点

匹配：实质上是二分图中的一个边集，边集中出现的点不会重合，比如有a-b了，就不会有a-c了，要是有了a就重合了

最大匹配：这个边集的数目最大的那个匹配

 

匈牙利算法——

增广路：一条在X和Y之间交错的路径，【这条路上一条是匹配边，一条不是匹配边】，如此相交错，

其中第一条和最后一条边不是匹配边，（所以增广路的长度一定为奇数，不是匹配边的数目比是匹配边的数目多1），

按matrix67的神说法，当我们把这条路上不是匹配边的那些换成要匹配的，原来是匹配的换成不要匹配的，匹配数就+1

所以当有增广路存在时说明匹配数可以再增大

 

二分图中最小点覆盖等于最大匹配数

最小点覆盖：实质是个点集，点集里面的点能覆盖所有的边，最小点覆盖就是满足这个要求的点集中点数最小的那个

证明：所有的边分为匹配的（A）边和不是匹配的边（B），最小点覆盖的点集就是要每条匹配的边两端顶点中的一个，

比如现在有x1-y1属于A，x1-y2属于B，对于x1-y1这条匹配边取x1而不取y1，这样就能覆盖到x1-y2，即B也能覆盖到

 

二分图中最小边覆盖=顶点数-最小点覆盖（最大匹配）

最小边覆盖：实质是个边集，这个集合里的边能覆盖所有的点，最小边覆盖是满足这个要求的所有边集中边数最少的一个

这里顶点数等于总的顶点数，是二分图两边的顶点数，不是一边

证明：设最大匹配数为m，总顶点数为n。为了使边数最少，又因为一条边最多能干掉两个点，所以尽量用边干掉两个点

也就是取有匹配的那些边，当然这些边是越多越好，那就是最大匹配了，所以先用最大匹配数目的边干掉大多数点

剩下的解决没有被匹配的点，就只能一条边干掉一个点了，设这些数目为a

显然，2m+a=n，而最小边覆盖=m+a，

所以最小边覆盖=（2m+a）-m=n-m