HLOJ442 农田个数

题目描述

你的老家在农村。过年时，你回老家去拜年。你家有一片
N×M
N×M
农田，将其看成一个
N×M
N×M
的方格矩阵，有些方格是一片水域。你的农村伯伯听说你是学计算机的，给你出了一道题： 他问你：这片农田总共包含了多少个不存在水域的正方形农田。
两个正方形农田不同必须至少包含下面的两个条件中的一条：
边长不相等
左上角的方格不是同一方格
输入格式
输入数据第一行为两个由空格分开的正整数N、M（1<=m< n <=1000）
第2行到第N+1行每行有M个数字（0或1），描述了这一片农田。0表示这个方格为水域，否则为农田（注意：数字之间没有空格，而且每行不会出现空格）
输出格式
满足条件的正方形农田个数。

题解

这道二维DP涉及比较多的变量。
f[i][j] f [ i ] [ j ] 代表是强制以(i,j)为右下角的最大正方形农田的边长。（具体计算方法见“注意点2”）
然后我们可以统计出所有以i为边长的最大正方形农田的个数 c[i] c [ i ]
最后我们求出边长为i的正方形农田个数 dp[i] d p [ i ] ，所以我们有 dp[i]=dp[i+1]+c[i] d p [ i ] = d p [ i + 1 ] + c [ i ]
那么答案就是 ∑ni=1dp[i] ∑ i = 1 n d p [ i ]

注意点1

我是用字符串形式来读入原图的。所以每一个元素都是字符。原图就是’0’和’1’的集合。所以判断原图某个点是农田还是水的时候，应该这样写： mp[i][j]==′1′ m p [ i ] [ j ] = = ′ 1 ′ 而不是 mp[i][j]==1 m p [ i ] [ j ] == 1 。。

注意点2

计算f[i][j]的时候的状态转移方程是：

f[i][j]=min(f[i−1][j],f[i][j−1],f[i−1][j−1])+1 f [ i ] [ j ] = m i n ( f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − 1 ] , f [ i − 1 ] [ j − 1 ] ) + 1

而不是

f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1],f[i−1][j−1])+1 f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − 1 ] , f [ i − 1 ] [ j − 1 ] ) + 1

我们只需要来证明，f[i][j]是前面的最小值决定的而不是最大值决定的。
我们可以分情况讨论：

先来反证肯定不是由最大值决定：

这里，f[3][4]=2,f[4][3]=2,f[3][3]=1.
明显f[4][4]=2而不是3。

f[i][j]由f[i-1][j-1]转移来

有 f[i−1][j−1]<=f[i−1][j] f [ i − 1 ] [ j − 1 ] <= f [ i − 1 ] [ j ] 而且 f[i−1][j−1]<=f[i][j−1] f [ i − 1 ] [ j − 1 ] <= f [ i ] [ j − 1 ]
就是这张图的情况，很明显是正确的。

f[i][j]由f[i][j-1]或者f[i-1][j]转移来

我们讨论 f[i−1][j] f [ i − 1 ] [ j ] 的情况
明显有 f[i−1][j]<=f[i−1][j−1] f [ i − 1 ] [ j ] <= f [ i − 1 ] [ j − 1 ]
那么我们也可以画图：

由于 f[i−1][j]<=f[i−1][j−1] f [ i − 1 ] [ j ] <= f [ i − 1 ] [ j − 1 ] ，那么 f[i−1][j−1] f [ i − 1 ] [ j − 1 ] 所代表的正方形，一定能满足转移需要。

code

#include
using namespace std;
inline int read(){
    int num=0;
    char c=' ';
    bool flag=true;
    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar())
    if(c=='-')
    flag=false;
    for(;c>='0'&&c<='9';num=num*10+c-48,c=getchar());
    return flag ? num : -num;
}
const int maxn=1020;
int n,m;
char mp[maxn][maxn];
void init(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%s",mp[i]+1);
}
int f[maxn][maxn];
int c[maxn];
int largest;
void DP1(){
    const int INF=2e9;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(mp[i][j]=='1'){
                f[i][j]=INF;
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+1);
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+1);
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
                c[f[i][j]]++;
                largest=max(largest,f[i][j]);
            }
            else f[i][j]=0;
        }
    }
}
int dp[maxn];
void DP2(){
    int ans=0;
    for(int i=largest;i>=1;i--)
        if(c[i]!=0){
            dp[i]=dp[i+1]+c[i];
            ans+=dp[i];
        }
    printf("%d\n",ans);
}
void check(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        cout<' ';
        cout<int main(){
    init();
    DP1();
    DP2();
    //check();
    return 0;
}