Codeforces Round #587 (Div. 3)E2. Numerical Sequence (hard version)（二分）

题目：E2. Numerical Sequence (hard version)

题意：

一串数11212312341234512345612345671234567812345678912345678910……
有q ( q < 500 )次询问，每个询问一个k ( k <= 1e18) ，求该串数第 k 位是什么数字?

解题：

1. 求的是第k位数而不是第k个数，9之后数不止一位；
2. 这里我们用 sum(x) 表示第 x 块的位数和（ 从1~x的位数和）， ssum(x) 表示x第一次出现时的位数和：
   - 例如 112123 sum(i) 存储 “123” 的位数和 3；
   - 而 ssum(x) 表示 第一次出现3（即"112123"）的位数和 6；
3. ssum(x) = ∑sum(x) ;
4. 由于 [10ⁱ, 10ⁱ⁺¹) 的数长度均为 i +1 ，所以这里 每个 [10ⁱ, 10ⁱ⁺¹) 里的每个sum(i) 就是一个等差数列，差为 i +1 ;
5. 所以给定x， ssum(x) = ans[i] + (i+1)∗∑(1，x-i+1) ; ( 10ⁱ 为＜=x的最大的10的次方数）；
6. ans(i) = (i+1) ∗ ∑(1，区间长度的和）+ ( sum(10ⁱ - 1) - sum(10^i-1 - 1)) ∗ (x−10ⁱ + 1) + ans(i-1);
7. 两次二分就好了，第一次二分找到最大的 x 使 ssum(x) < k; 则解就在 x+1 块里, k −= ssum(x)； 第二次二分找到最大的 x 使 sum(x) < k, 那么解就在数 x+1中,k−=sum(x) , 最后数 x+1 的第 k 位就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

inline ll get_sum ( ll x ) { //从1~区间长度x的前x项和

	return x*(x+1)/2;
}

inline ll calc_1 ( ll x ) { // 获取ssum[x]

	ll ans=0, i=1, j=1;
	for ( ; j*10<=x; i++,j*=10 ) {
		ans += i*get_sum(j*9) + i*j*9*(x-j*10+1);
	}
	return ans + i*get_sum(x-j+1);
}

inline ll calc_2 ( ll x ) { // 获取sum[x]

	ll ans=0, i=1, j=1;
	for ( ; j*10<=x; i++,j*=10 ) {
		ans += i*j*9;
	}
	return ans + i*(x-j+1);
}

int main() {

	ll q, k;
	scanf("%lld", &q);

	while (q--) {

		scanf("%lld", &k);
		ll l = 0, r = 1e9, res1, res2;

		while ( l<=r ) { // 第一次二分确定k在哪个块里

            ll mid = l+r >> 1;
            if ( calc_1(mid) < k ) {
                l = mid + 1;
                res1 = mid;
            }
            else r = mid - 1;
		}
		k -= calc_1(res1);
		l = 0, r = res1 + 1;
		while ( l<=r ) { // 第二次二分确定k在哪个数里

            ll mid = l+r >> 1;
            if ( calc_2(mid) < k ) {
                l = mid + 1;
                res2 = mid;
            }
            else r = mid - 1;
		}
		k -= calc_2(res2 ++);

		int a[30];
		memset(a, 0, sizeof(a));
		int i = 0;
        while(res2) {
            a[++i] = res2%10;
            res2 /= 10;
        }
        printf("%d\n", a[i-k+1]);
	}
	return 0;
}