信号处理趣学D8——关于拉氏变换和频谱图的那些事儿

最近小虎在网课上被老师问到编程写出一指数函数$y=A{e}^{-at}$的频谱图，当时鼓捣了1个多钟？？？以前是画过bode图，bode的幅频图是对数幅频图。应该也可以用伯德图直接画的，但是这个问题的关键应该在拉氏变化。5分钟不到的事，要搞那么久，看来是小虎还不太理解拉氏变换。编程工具还是那熟悉的MATLAB。

拉氏变换简介

拉普拉斯变换(Lapalace transform)，是一种线性变换，也就是说非线性不可以用这种方法，它可以将时域变量转换为复数变量进而得到复数频率。一般来讲，满足同质性f(ka)=kf(a)和可加性f(a+b)=f(a)+f(b)，即为线性变换，参考这里。
在信号分析领域中，何岭松教授将之称为叠加性和比例性： 叠加性，系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和；比例性，数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的数倍。

傅里叶变换vs拉氏变换

既然都是将时域信息转化为频域信息，那么拉氏变换和傅里叶变换(fourier transform)有啥区别呢？
wikipedia说，“The Laplace transform is similar to the Fourier transform. While the Fourier transform of a function is a complex function of a real variable (frequency), the Laplace transform of a function is a complex function of a complex variable.”他们主要区别是变量形式不同，在傅里叶变换是关于实数频率变量的方程，而拉氏变换是关于复数频率变量的方程。
不过两种时域to频域的变换工程上都有应用，像小虎用过的，数字图像处理滤波用过傅里叶变换、傅里叶反变换；自动控制用过拉氏变换求传递函数以及系统的动态特性等等。
傅里叶变换
$$X(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$
拉氏变换
$$F(s)=L\{f(t)\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$

拉氏变换表

看下面其中一个网站：
Laplace Transform
Microsoft Word - New Laplace Transform Table

频谱图简介

以待画频谱的函数$y(t)=A{e}^{-at}$为例。
首先查拉氏变换表，的到exponent function的拉氏变换，上述函数的转换结果是：
$$Y(s)=\frac{A}{s+a}$$
令$s=j\omega$，可以得到
$$Y(w)=\frac{A}{j\omega +a}$$
幅值、相角为：
$$|Y(w)|=\frac{A}{\sqrt{{\omega }^2+a^2}}$$
$$\varphi (w)=-arctan(\frac{\omega }{a})$$
这样，幅值和相位角就是关于频率的函数。将幅值和相位角关于频率的图像分别画出，就是幅频图（振幅频谱图magnitude spectrum）和相频图（相位角频谱图phase angle spectrum），两者合称为频谱图。

示例以及结果

设A=5，a=5。接下来提供提供两种方法画频谱图，两种方法表示不同，应用场景有点区别。

方法1定义法

频谱图定义

幅值关于频率变化的函数绘制出来的图像称为幅频图，函数可以表示为$|X(\omega )|$；相位角关于频率变化的函数绘制出来的图像称为相频图，函数可以表示为$\phi (\omega )$。幅度可以对函数取绝对值得到，而相位角，可以从复平面得到，比如
$$z=3+j2$$
它的幅值为$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，相位角为：$\phi =arctan\frac{2}{3}$

结果图

完整代码

a=5;A=5;
w=-5*pi:0.01:5*pi;
Xw=A./sqrt((w.^2+a^.2));
phi=-atan(w/a);
subplot(2,1,1);
plot(Xw);
xlabel('\omega');
ylabel('|X(\omega)|');
subplot(2,1,2);
plot(phi);
xlabel('\omega');
ylabel('|\phi(\omega)|');

此法用于一般情况下求频谱图。

方法2bode图

bode图的意义和编程方法见小虎的这篇文章，这里不再赘述。结果图如下。

总结

不论是那种方法，都需要将时域变量转化为频域变量，然后再根据频谱图的相关定义画出来频谱图来。因为频谱图本身就是为了描述以频率为自变量的函数而存在的，所以在时域里鼓捣了1个多小时还鼓捣不出两幅图来也不足为奇了。

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