动态规划_最长上升（下降）子序列

最长上升（下降）子序列

这也是动态规划的一种经典题型，牛客网也收录了这个题（https://www.nowcoder.com/questionTerminal/585d46a1447b4064b749f08c2ab9ce66）；

例1：

输入：A = [157,232,6] n=3

输出：2

 

分析：

从后向前，求出以第i个元素为第一个元素时，最长上升序列的长度len[i].

初始化len[n]=1;

 

状态转移方程：len[i]=max(len[j]+1) 满足：(1) i(2) j = (i+1),(i+2),…,n (3)A[j]>A[i]

 

例1分析：

A = [157,232,6]n=3

(1)初始化:

len[n]=len[3]=1;

num=1;记录目前最长上升子序列的长度。

当前状态

A = [157,232,6]

len=[0,0,1]

num=1

(2)

len[2] =max (len[2+1]+1)= max (len[3]+1)=1 (由于不满足A[3]>A[2]，即不满足6>232)

当前状态

A = [157,232,6]

len=[0,1,1]

num=1

(3)

len[1] =max(len[1+1]+1,len[1+2]+1) = max(len[2]+1,len[3]+1) (由于不满足A[3]>A[1]，即不满足6>157)=1+1=2;

当前状态

A = [157,232,6]

len=[2,1,1]

num=2

(4)最终得出长度为2

 

ＪＡＶＡ代码：

public static int findLongest(int[] A, int n) {
        int[] len = new int[n+1];//记录以第i个元素为子序列的第一个元素时，最长递增子序列的长度。
        //初始化
        len[n] = 1;
        int num = 0;
        for(int i = n;i>0;i--)
        {
        	len[i]=1;
            for(int j = n;j>i;j--)
            {
                if((A[i-1]A[j-1])&&(len[i]<=len[j]))//下降
                {
                    len[i]=len[j]+1;
                    if(len[i]>num) num = len[i];
                }
            }
        }
        return num;
    }

在学习中，发现有的题还会问：方案数是多少？

这个问题问的想打人啊。。。。。。

（先把方法记录下来，刷题的时候，如果遇到了第二问，就再回来补充）

 

解决方案：

（1）对len[]排序

（2）用t[i]记录以第i个元素为第一个元素时，最长上升序列的不同方案数（注意啊，注意，是不同，需要去除重复的）

（3）初始化，如果len[i]=1,则t[i]=1;

（4）关于去重：当序列中有相同的元素时，为避免重复计数，从后向前递推时，当后面的元素遇到前面的相同元素时，则不再向前推。

例：A=[2,4,1,4,5]中有最长子序列[2,4,5]和[2,4,5],但其实他们两个是同样的子序列。