图论（十二）——偶图的匹配问题

一、图的匹配与贝尔热问题

\quad 图匹配概念：如果M是图G的边子集(不含环），且M中的任意两条边没有共同顶点，则称M是G的一个匹配或对集或边独立集。如下图所示：

\quad 若顶点是M中某条边的顶点，则称它为M饱和点，否则为M非饱和点。
\quad 最大匹配 M— 如果M是图G的包含边数最多的匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。一个图一定存在最大匹配，不一定存在完美匹配。首先完美匹配要求有偶数个点。

贝尔热定理

\quad G的匹配M是最大匹配，当且仅当G不包含M可扩路。
M可扩路：如果M是图G的匹配，G中一条由M中的边和非M中的边交错形成的路，称为G中的一条M交错路。特别地，若M交错路的起点与终点是M非饱和点，称这种M交错路为M可扩路。（如果G中顶点v是G的匹配 M中某条边的端点，称它为M饱和点，否则为M非饱和点）

二、偶图的匹配与覆盖

1、偶图匹配存在性判定——Hall定理

设G=(X, Y)是偶图，则G存在饱和X每个顶点的匹配的充要条件是：$$\forall S\subseteq X,|N(S)|\ge |S|$$
推论1：若G是k(k>0)正则偶图，则G存在完美匹配。
证明：一方面，由于G是k (k>0)正则偶图,所以k|X|=k|Y|,于是得|X| = |Y|；另一方面，对于X的任一非空子集S, 设E1与E2分别是与S和N(S)关联的边集，显然有$E_1\subseteq E_2$，即$|E_1|=k|s|\le |E_2|=k|N(s)|$，由hall定理，且|x|=|y|，所以G存在完美匹配。

推论2：每个k方体都有完美匹配
证明：每个k方体都有$2^k$个顶点，每个顶点可由长度为k的二进制码来表示，两顶点之间连线当且仅当两顶点的二进制码只有一位坐标不同。若将坐标之和为偶数的顶点归入X，为奇数的归入Y，则X中顶点互不连接，Y中也互不连接，故k方体是偶图。又不难知道k方体是k正则偶图，故k方体存在完美匹配。

推论3：$K_{2n}$中完美匹配个数为$(2n-1)K_{2n-2}$，如此递推下去，可得其完美匹配个数为$(2n-1)!!$；
$K_{n,n}$中完美匹配个数为$n!$

推论4：树至多存在一个完美匹配
证明：若不然，设M1与M2是树T的两个不同的完美匹配，那么M1ΔM2≠Φ,容易知道：T[M1ΔM2]每个非空部分顶点度数为2，即它存在圈，于是推出T中有圈，矛盾。

2、图的点覆盖

\quad 图的点覆盖 —G的一个顶点子集K称为G的一个点覆盖，如果G的每条边都至少有一个端点在K中。G的一个包含点数最少的点覆盖称为G的最小点覆盖，其包含的点数称为G的覆盖数，记为α(G).如图

3、设M是G的匹配，K是G的覆盖，若|M|=|K|,则M是最大匹配，而G是最小覆盖

\quad 此定理即为最大匹配最小覆盖定理。若M为G的匹配，K为G的覆盖，当匹配边数等于覆盖点数时该匹配为最大匹配。

4、哥尼定理

\quad 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的点数（直观感觉可得）

5、托特定理

\quad 图G有完美匹配当且仅当对V的任意非空真子集S, 有：$$o(G-S)\le |S|$$
注：$o(G-S)$为奇分支个数

推论：没有割边的3正则图存在完美匹配。