【每日一题】codeforces 1355C(1800)(数论 and 前缀和)

想她一次就背十个单词，当我英语过六级后，我就去告诉她，我很在意她
每日一题，坚持使我快乐

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今日份快乐：codeforces 1355C 传送门
明天份快乐：codeforces 20C 传送门

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题目大意：

给出四个整数a，b，c 和 d，满足 a $\le$ b $\le$ c $\le$ d。
求：有多少组x，y 和 z，他们可以构成三角形，并且满足 a $\le$ x $\le$ b $\le$ y $\le$ c $\le$ z $\le$ d。

分析：

题目的数据范围在 1e6，那么肯定要用 O(n)或者更高效的算法来解决，我只会写出 O(n²) 的算法，参考了官方题解，给出一个O(n)的写法。

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众所周知，三角形的存在定理是任意两边之和大于第三边，我们这里有 x $\le$ y $\le$ z，所有只需要满足 x + y > z 就ok。我们用类似与容斥的思想，假设 s = x + y，我们去统计等于 s 的（x，y）有多少组。这个 s 有什么用呢？我们来举个例子，假设 s = 5 对应的（x，y）有 10组，当 z = 4时，s = 5 对应的 10 组（x，y）都可和 z 构成三角形。

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现在问题就变成了如何统计 s 出现的个数，我们令 x = i，因为 y 的取值区间为 [b, c]，则 x + y 的范围是 [i+b, i+c]，我们要对在区间 [i+b, i+c] 的 s 出现个数+1，这样我们就可以通过 x 的值去统计 s。
在统计好 s 以后，我们令 z = i ，计算 s_z+1 到 s_d 的和，这便是当 z = i 时可以构成的三角形的个数。z 的取值为 [c, d]，遍历就OK。当然，高效计算 s_z+1 到 s_d 的和sum_z 肯定要用前缀和。

这里有一个问题，如何高效的做到区间 [i+b, i+c] 的 s 出现个数+1
比如现在我们要对 [5, 10] 这个区间的 s 出现个数 +1
第一步：标记 s₅ 和 s₁₁

si	4	5	6	7	8	9	10	11
numi	0	1	0	0	0	0	0	-1

第二步：计算 num[i] += num[i-1]

si	4	5	6	7	8	9	10	11
numi	0	1	1	1	1	1	1	0

通过这两步，我们就可以对区间 [5, 10]中的 num 进行 +1。
在应用时，我们先对所有要操作的区间进行第一步操作，最后只进行一次第二步，就可以高效的去实现区间+1的操作了

代码

#include 
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 1e6+10;
ll sum[maxn] = {0};

int main(){
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	
	ll a, b, c, d;
	cin >> a >> b >> c >> d;
	
	for(int i = a; i <= b; i++){       //  对 s 进行区间标记 
		sum[i + b]++;       	   // 区间的开始标记  +1 
		sum[i + c + 1]--;	   // 区间结束的后一位标记为 -1
	}
	
	for(int i = 1; i <= d + d; i++){        // 计算 s 出现的个数，注意 s 的范围应该是 d + d 
		sum[i] += sum[i-1];		// 这里的 sum 就是 s 出现的个数 
	}
	
	for(int i = 1; i <= d + d; i++){        // 计算 s 的前缀和
		sum[i] += sum[i-1];		// 这里的 sum 被更新为前缀和
	}
	
	ll ans = 0;
	for(int i = c; i <= d; i++){ 	 	 //  通过前缀和计算每个 z 对答案的贡献 
		ans += sum[d + d] - sum[i];      
	}
	
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
}

坚持的时候很狼狈，等成功以后，丑的还是丑的