欧拉函数及其性质

定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’s totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。

函数式

φ(x)=x∏i=1n(1−1pi) φ ( x ) = x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i )

其中 pi p i 为 x x 的质因数 (x>0) ( x > 0 )
φ(x) φ ( x ) 为 1→x 1 → x 与x互质数的个数

性质

1. 对于任意一个质数 p p , φ(n)=n−1 φ ( n ) = n − 1

因为 n n 为质数,与他互质的个数就是 n-1

2. 当 gcd(n,m)=1 g c d ( n , m ) = 1 时, φ(nm)=φ(n)φ(m) φ ( n m ) = φ ( n ) φ ( m )

因为 φ(n) φ ( n ) 是积性函数。 积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

3. 若 n=pk n = p k 其中p为质数,则 φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1 φ ( n ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1

1→n 1 → n 中除了p的倍数，都与 pk p k 互质, 1→n 1 → n 中 p p 倍数的个数为 pk÷p=pk−1 p k ÷ p = p k − 1

4. n=pk11pk22…pkm−1m−1pkmm n = p 1 k 1 p 2 k 2 … p m − 1 k m − 1 p m k m 其中 pkmm p m k m 为 n n 所分解的质因数( km k m 为每个质因数的个数) ，则

φ(n)=n∏i=1m(1−1pi) φ ( n ) = n ∏ i = 1 m ( 1 − 1 p i )

由性质3可得

φ(n)=∏i=1n(pi−1)pki−1i(pi|n)=(pk11pk22pk33…pkmm)∏i=1m(1−1pi)=n∏i=1m(1−1pi) φ ( n ) = ∏ i = 1 n ( p i − 1 ) p i k i − 1 ( p i | n ) = ( p 1 k 1 p 2 k 2 p 3 k 3 … p m k m ) ∏ i = 1 m ( 1 − 1 p i ) = n ∏ i = 1 m ( 1 − 1 p i )

5. 所有小于 n n 与 n n 互质个数的和 sum=n×φ(n)2 s u m = n × φ ( n ) 2

首先证明 gcd(n,i)=1 g c d ( n , i ) = 1 ,则 gcd(n,n−i)=1 g c d ( n , n − i ) = 1
利用反证法:
设存在 gcd(n,i)=1,gcd(n,n−i)=k g c d ( n , i ) = 1 , g c d ( n , n − i ) = k ,那么可得 (n−i)%k=0,n%k=0 ( n − i ) % k = 0 , n % k = 0 ,所以 i%k=0 i % k = 0 ,即 gcd(n,i)=k g c d ( n , i ) = k
与假设矛盾，所以 gcd(n,i)=1 g c d ( n , i ) = 1 ,则 gcd(n,n−i)=1 g c d ( n , n − i ) = 1 成立
由这个式子可得每个与 n n 互质的数都是成对的,因为 gcd(n,i)=gcd(n,n−i)=1 g c d ( n , i ) = g c d ( n , n − i ) = 1 , i i 和 (n−i) ( n − i ) 成对,这样就可证明5性质

6. 如果 i i mod p p =0,其中 p p 为质数,则 φ(i∗p)=p∗φ(i) φ ( i ∗ p ) = p ∗ φ ( i ) ,否则 φ(i∗p)=(p−1)φ(i) φ ( i ∗ p ) = ( p − 1 ) φ ( i )

对于前半部分,我们只需证明 如果 gcd(i,n)=1 g c d ( i , n ) = 1 则 gcd(i,n+i)=1 g c d ( i , n + i ) = 1
同上反证法:
设 gcd(i,n)=1,gcd(i,n+i)=k g c d ( i , n ) = 1 , g c d ( i , n + i ) = k
设 n+i=ka1,i=ka2 n + i = k a 1 , i = k a 2 ,则 ka2+n=ka1,n=(a1−a2)k k a 2 + n = k a 1 , n = ( a 1 − a 2 ) k ,所以 gcd(i,n)>=k g c d ( i , n ) >= k ,与假设矛盾, gcd(i,n)=1 g c d ( i , n ) = 1 ,则 gcd(i,n+i)=1 g c d ( i , n + i ) = 1 成立

有了上面那个式子就好证明了,因为 p为质数,所以与 i∗p i ∗ p 互质的数也就是 1→(i∗p) 1 → ( i ∗ p ) 与 i i 互质的数的个数,这样就可以用上面那个定理了,设 n n 是小于 i i 且与 i i 互质的数,则 gcd(i,n)=1 g c d ( i , n ) = 1 则 gcd(i,n+i)=gcd(i,n+2i)=gcd(i,n+3i)=⋯=gcd(i,n+(p−1)i) g c d ( i , n + i ) = g c d ( i , n + 2 i ) = g c d ( i , n + 3 i ) = ⋯ = g c d ( i , n + ( p − 1 ) i ) 也就是原来的 p p 陪

后半部分更好证明, i i 与 p p 互质,那就是性质2

7. n=∑d|nφ(d) n = ∑ d | n φ ( d ) (d|n) ( d | n ) 指n是d的倍数

正规的推导看不懂,在搜了很多博客后看到了一种简单的证明方法

1n,2n,3n,4n,…,nn 1 n , 2 n , 3 n , 4 n , … , n n

一共n个分数,把所有数化简到最简分数，则每个分母都是n的因子,也就是说n 是所有分母的倍数,每个分母存在的数量就是 φ(i) φ ( i ) 所有 φ(i) φ ( i ) 的和也就是所有数的个数 n n

8. 欧拉定理:对于互质的整数a,m,有 aφ(m)≡1 a φ ( m ) ≡ 1 (mod m)。

证明
设小于 n n 且与 n n 互质的集合 Z Z , 则 |Z|=φ(n)，Z={q1,q2,q3…qm} | Z | = φ ( n ) ， Z = { q 1 , q 2 , q 3 … q m }
设集合 Y={a∗p1 mod m,a∗p2 mod m… a∗pφ(m} Y = { a ∗ p 1   m o d   m , a ∗ p 2   m o d   m …   a ∗ p φ ( m }

我们只需证明 Y=Z Y = Z 即可
因为 a a 与 n n 互质, pi p i 与 n n 互质,所以 a∗pi a ∗ p i 与 n n 互质，所以 a∗pi mod n∈Z a ∗ p i   m o d   n ∈ Z
若 i != j i   ! =   j 那么 a∗pi mod n != a∗pj mod n a ∗ p i   m o d   n   ! =   a ∗ p j   m o d   n
一如既往的反证法:
设 a∗pi mod n = a∗pj mod n a ∗ p i   m o d   n   =   a ∗ p j   m o d   n , a∗pi=ki∗n+b a ∗ p i = k i ∗ n + b ,那么

a∗pi−a∗pj=ki∗n+b−kj∗n−b化简得a(pi−pj)=n(ki−kj) 进而得n=pi−pjki−kja a ∗ p i − a ∗ p j = k i ∗ n + b − k j ∗ n − b 化 简 得 a ( p i − p j ) = n ( k i − k j )   进 而 得 n = p i − p j k i − k j a

,这与 a n a   n 互质矛盾,所以 i != j i   ! =   j 那么 a∗pi mod n != a∗pj mod n a ∗ p i   m o d   n   ! =   a ∗ p j   m o d   n 成立
因此我们可得 Z=Y Z = Y
所以我们可以列出

a∗p1∗a∗p2∗⋯∗a∗pφ(n)≡p1∗p2∗⋯∗pφ(n)( mod n)→aφ(n)≡1 ( mod n) a ∗ p 1 ∗ a ∗ p 2 ∗ ⋯ ∗ a ∗ p φ ( n ) ≡ p 1 ∗ p 2 ∗ ⋯ ∗ p φ ( n ) (   m o d   n ) → a φ ( n ) ≡ 1   (   m o d   n )

费马小定理就是他的一种情况 a与p a 与 p 互质时 ap−1≡1 ( mod p) a p − 1 ≡ 1   (   m o d   p ) ，这时候 φ(p)=p−1 φ ( p ) = p − 1 带进去这个性质便可得

欧拉函数求法

应用

欧拉筛质数

板子 线性筛法中的p[]就是

欧拉降幂

公式
Ak≡Ak%φ(m)(mod m)gcd(A,m)=1 A k ≡ A k % φ ( m ) ( m o d   m ) g c d ( A , m ) = 1
Ak≡Ak(mod m)gcd(A,m)!=1,k<φ(m) A k ≡ A k ( m o d   m ) g c d ( A , m ) ! = 1 , k < φ ( m )
Ak≡Ak%φ(m)+φ(m)(mod m)gcd(A,m)!=1,k>φ(m) A k ≡ A k % φ ( m ) + φ ( m ) ( m o d   m ) g c d ( A , m ) ! = 1 , k > φ ( m )
证明见:https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/81272848
看不懂,只好背公式,数学还是太垃圾了

板子
O(n) O ( n ) ,线性筛法

int p[maxn];
bool  vis[maxn];
ll phi[maxn];
int cnt=0;
ll get_phi(int len=maxn){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;iif(!vis[i]){
            p[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }       
        for(int j=0;jif(p[j]*i>=len) break;
            vis[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
                break;  
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);

        }
    }

}

O(n−−√) O ( n ) ，适合求单点

ll get_phi(ll  x){
    ll res=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0){
            res=res-res/i;
            while(x%i==0) x/=i;
        }       
    }
    if(x!=1) res=res-res/x;
    return res;
}

练习

BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法 ( O(n−−√) O ( n ) 板子) 题解