每日一题——LeetCode43 字符串相乘

题目

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

示例 1:

输入: num1 = “2”, num2 = “3”
输出: “6”

示例 2:

输入: num1 = “123”, num2 = “456”
输出: “56088”

说明：

num1 和 num2 的长度小于110。
num1 和 num2 只包含数字 0-9。
num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。
不能使用任何标准库的大数类型（比如 BigInteger）或直接将输入转换为整数来处理。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/multiply-strings
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

解法一

在解决这个题目之前，我们先明确一点：a为m位数，b为n位数，那么axb的位数一定处于[m+n-1, m+n]之间。关于这个这里就不详细推导了，很简单。

既然两数相乘最大可能的位数为m+n，那么我们首先设置一个数组v用于存储它们相乘的结果，数组的长度也为m+n。假设a为"123"，b为"12"，现在我们进行乘法运算，首先将对乘数b做分解，将a分别与1和2进行相乘，然后将对应位数的结果进行相加即可(类似于我们手动做乘法用的竖式运算方法)。

对应位上做乘法的结果我们存储到数组的对应位置上(v[m+n+1])，例如a[0]xb[0]，这个结果我们放到v[1]中去，详见以下代码：

class Solution {
public:
    string multiply(string num1, string num2) {
        int n1 = num1.size(), n2 = num2.size(); 
        if(num1=="0" || num2=="0")    return "0";  // 任一字符串为"0"，直接返回“0”
        string ans="";  
        vector<int> a(n1+n2, 0);  
        for(int i=0; i<n1; i++){
            int x=num1[i]-'0';
            for(int j=0; j<n2; j++){
                int y=num2[j]-'0';
                a[i+j+1] += x*y;  
            }
        }
        for(int t=n1+n2-1; t>=1; t--){  // 从右到左进行一次遍历，进位运算
            a[t-1] += a[t]/10;
            a[t] = a[t]%10;
        }
        for(int i=a[0]==0?1:0; i<n1+n2; i++){ // 数组转字符串
            ans += a[i]+'0';
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析
时间复杂度：O(m * n)，m,n 分别为两个字符串长度
空间复杂度：O(m * n)，数组开销