快速幂(二分幂)

快速幂(二分幂)

问题

给定正整数a、b、m，求 $a^b\%m$。

方法一

运用递归思想，考虑以下两个步骤：

• b为奇数，则 $a^b=a\ast a^{\frac{b}{2}}\ast a^{\frac{b}{2}}$
• b为偶数，则 $a^b=a^{\frac{b}{2}}\ast a^{\frac{b}{2}}$

时间复杂度为 $O(\log b)$

typedef long long LL;

LL binaryPow(LL a, LL b, LL m)
{
    if (b == 0)         // 递归边界
        return 1;
    
    // 注意不能直接return函数乘积，不然会造成重复计算
    LL p = binaryPow(a, b / 2, m);  
    if (b % 2 == 0)     
        return p * p % m;        
    else                
        return a * p * p % m;
}

方法二

运用迭代思想，将b用二进制表示，那么可以得到 $a^b=\prod a^{2^i}\ast k_i$，$i$ 表示b二进制从低位到高位的位号，$k_i$ 表示当前位的数字是0或1。

typedef long long LL;

LL binaryPow(LL a, LL b, LL m)
{
    LL ans = 1;             // 记录结果
    while (b)
    {
        if (b & 1)          // b二进制的末位为1，则累乘
            ans = ans * a % m;
        a = a * a % m;      // b每右移一位，a的值都要变化
        b = b >> 1;         // b右移一位
    }
    return ans;
}