剑指offer面试题：14剪绳子(Java版)

题目

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m].请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路

动态规划解法

首先定义函数F(n)表示吧长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀的时候，我们有n-1种可能的选择，也就是剪出来的第一段的绳子可能长度为1,2,3,…,n-1,因此F(n)=max(F(i)*F(n-i)),其中0

这是一个从上到下的递归公式。由于递归会有很多重复的子问题，从而会有大量不必要的重复运算。为了避免上述问题，我们不采用递归，从下而上来顺序计算，即先计算F(1)接着计算F(2)…直到得到F(n)。

当绳子长度为2时，只能剪成两段长度都为1的，因此f(2)=11=1,当绳子长度为3的时候可以剪成长度分别为1、2的两段或者长度都为1的三段，因为111=1<12=2因此f(3)=2

代码实现

 public static int maxProductAfterCutting_solution1(int length)
    {
    //对长度为0、1、2、3的绳子进行特殊处理
        if(length<2)
        {
            return 0;
        }
        if(length==2)
        {
            return 1;
        }
        if(length==3)
        {
            return 2;
        }
        //products数组第i个元素代表着长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值
        //i>=4时上述概念有效
        int[] products=new int[length+1];
        //下面的初始化不代表着最大值，是为了方便i>=4的计算
        products[0]=0;
        products[1]=1;
        products[2]=2;
        products[3]=3;
        int max=0;
        for(int i=4;i<=length;i++)
        {
            max=0;
            //寻找长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值
            for(int j=1;j<=i/2;j++)
            {
                int product=products[j]*products[i-j];
                if(max<product)
                {
                    max=product;
                }
            }
            products[i]=max;
        }
        max=products[length];
        return max;

    }