dijkstra迪杰斯特拉算法

原文：http://www.cnblogs.com/sadgeminids/archive/2011/12/29/2306719.html

在图的应用中，有一个很重要的需求：我们需要知道从某一个点开始，到其他所有点的最短路径。

    这其中，Dijkstra算法是典型的最短路径算法。它的关键思想是以起始点为中心，向外一层层扩散，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能够得出最短路径的最优解，不过它需要遍历计算的节点相当多，所以效率不高。

 

    首先，用最通俗的语言解释。假定有3个顶点，A、B、C，如图：

 

要求A到其余各点的最短路径。很明显，A到C比A到B更短。有疑惑的是从A->B的最短距离，要么是直接A->B的边，要么是A经过C到B的边更短。我们首先找到最短的边（A->C),然后在此基础上扩展，于其余边去对比找到最小值。顶点再进一步扩充增加，按照这个思想，我们总可以找到A到所有点的最短路径。

 

 

算法具体步骤

 

 1.初始时，S中只有源点，即S = {v}，v的距离为0（到自己的距离为0）。U包含除v外地所有其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v到u存在边）或 ∞ （v到u不存在边，即u不是v的出边邻接点）

 2.从U中选取一个距离v最小的顶点k加入到S中（选定的距离就是v到k的最短路径）

 3.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离。若从源点v经过顶点k到顶点u的距离比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离，修改后的距离值为顶点k的距离加上边k->u的权

 4.重复步骤2、3直到所有的顶点都加入到S中

 再看一个例子：

 

步骤	S集合中	U集合中
1	选入A，此时S ={A} 此时最短路径A->A = 0 以A为中间点，从A开始找	U = {B, C, D, E, F} A->B = 6 A->C = 3 A->U中其他顶点 = ∞ 其中A->C = 3 权值为最小，路径最短
2	选入上一轮中找到的最短路径的顶点C，此时S = {A, C} 此时最短路径A->A = 0，A->C = 3 以C为中间点，从A->C=3这条最短路径开始新一轮查找	U = {B, D, E, F} A->C->B = 5(比上面的A->B = 6要小) 替换B的权值为更小的A->C->B = 5 A->C->D = 6 A->C->E = 7 A->C->U中其他顶点 = ∞ 其中A->C->B = 5 最短
3	选入B,此时S = {A, C, B} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3 A->C->B = 5 以B为中间点，从A->C->B = 5这条最短路径开始新一轮查找	U = {D, E, F} A->C->B->D = 10(比上面的A->C->D = 6大，不替换，保持D的权值为A->C->D=6) A->C->B->U中其他顶点 = ∞ 其中 A->C->D = 6 最短
4	选入D,此时 S = {A, C, B, D} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6 以D为中间点，从A->C->D = 6这条最短路径开始新一轮查找	U = {E, F} A->C->D->E = 8(比上面步骤2中的A->C->E = 7要长，保持E的权值为A->C->E =7) A->C->D->F = 9 其中A->C->E = 7最短
5	选入E,此时 S = {A, C, B, D ,E} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6，A->C->E =7, 以E为中间点，从A->C->E = 7这条最短路径开始新一轮查找	U = {F} A->C->E->F = 12(比第4步中的A->C->D->F = 9要长，保持F的权值为A->C->D->F = 9) 其中A->C->D->F =9最短
6	选入F,此时 S = {A, C, B, D ,E, F} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6，A->C->E =7,A->C->D->F = 9	U集合已空，查找完毕