路径规划算法---A* 算法详解：最优路径规划的启发式之王

A*（A-Star）算法是最常用、最实用的路径规划算法之一。它结合了 Dijkstra 算法的最短路径保证与启发式搜索的高效性，是自动驾驶、机器人、游戏 AI 等领域的“黄金标准”。

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一、A* 是什么？

A* 是一种启发式图搜索算法，用于在图中寻找从起点到目标的最短路径。
它兼顾两件事：

• 已经走过的真实代价（走了多远）
• 到目标的预计距离（还有多远）

并通过一个公式综合评估下一步该往哪走。

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二、核心思想公式

f(n) = g(n) + h(n)

符号	含义
g(n)	从起点走到当前节点 n 的真实代价
h(n)	从当前节点 n 到目标的预估代价（启发函数）
f(n)	当前路径的综合预估代价（用于排序）

A* 每次从候选节点中选择 f(n) 最小的进行扩展。

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三、适用场景

场景	说明
地图导航	百度地图、高德地图中的最短路径计算
游戏寻路	NPC 自动追踪角色路径
仓储机器人调度	机器人在网格地图中寻找最短无障碍路线
自动驾驶	低速路径规划（如泊车）中的网格导航模块

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四、算法执行流程

1. 起点入队，f(start) = g=0 + h(start)
2. 重复以下操作，直到找到目标或队列为空：
   • 从 OPEN 列表中取出 f 最小的节点 n
   • 如果 n 是目标，结束并返回路径
   • 否则：
     • 遍历 n 的所有邻居 m
     • 计算 g(m)、h(m)、f(m)
     • 如果比之前更优，就更新并加入 OPEN 队列

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五、启发函数 h(n) 设计

最常用的启发函数：

启发函数	适用环境	公式
曼哈顿距离	网格地图，不能斜走	|x1-x2|+ |y1-y2|
|欧几里得距离	连续空间，可斜走	sqrt((x1-x2)² + (y1-y2)²)
零函数	等价于 Dijkstra	h(n) = 0（最保守但最慢）

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六、示例图 + 执行示意

我们以一个简单的 2D 网格地图为例，障碍物为 #，空地为 .：

Start → S
Goal  → G

S . . #
. # . .
. # . G

A* 会优先向目标方向（右下）扩展，而不会像 Dijkstra 一样四面八方扩展。

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七、Python 简单实现示例

import heapq

def heuristic(a, b):
    return abs(a[0] - b[0]) + abs(a[1] - b[1])  # 曼哈顿

def a_star(grid, start, goal):
    open_set = []
    heapq.heappush(open_set, (0, start))
    came_from = {}
    g_score = {start: 0}

    while open_set:
        _, current = heapq.heappop(open_set)
        if current == goal:
            return reconstruct_path(came_from, current)

        for dx, dy in [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]:
            neighbor = (current[0]+dx, current[1]+dy)
            if 0 <= neighbor[0] < len(grid) and 0 <= neighbor[1] < len(grid[0]):
                if grid[neighbor[0]][neighbor[1]] == '#': continue
                temp_g = g_score[current] + 1
                if neighbor not in g_score or temp_g < g_score[neighbor]:
                    g_score[neighbor] = temp_g
                    f_score = temp_g + heuristic(neighbor, goal)
                    heapq.heappush(open_set, (f_score, neighbor))
                    came_from[neighbor] = current

八、时间复杂度

• 最坏复杂度：O(E) 或 O(V + E log V)（用堆优化时）
• 最优复杂度：启发函数 h(n) 越精准，效率越高
• 最差退化为 Dijkstra（当 h(n)=0）

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九、与其他算法对比

算法	启发式	是否最优	适用场景
BFS	❌	✅（无权图）	步数最少
Dijkstra	❌	✅	有权图
A*	✅	✅（若 h admissible）	导航、调度
RRT / PRM	❌	❌（概率性）	连续空间
时空 A*	✅	✅	多机器人避障

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十、优点与缺点

优点	缺点
✅ 找到最短路径
✅ 扩展方向“有目的性”
✅ h 可定制，灵活性高
❌ 空间复杂度高（需保存 OPEN、CLOSED 列表）
❌ h 不合适时效率低（可能退化为 Dijkstra）

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十一、一段话总结

A* 算法是最经典的启发式搜索算法，能在保证最短路径的前提下减少搜索空间。它结合了实际花费 g(n) 和启发估计 h(n)，适用于导航、机器人路径规划等。
我理解并实现过 A* 算法，掌握了如何设计启发函数、调整搜索效率，并能结合实际场景如网格地图或动态障碍进行改造。

A* 是图搜索算法中的黄金标准，在效率与最优性之间取得了极好平衡。它既适合入门学习图搜索，又在真实项目中广泛应用，是面试必备算法之一。