Reed Solomon纠删码

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纠删码是存储领域常用的数据冗余技术， 相比多副本复制而言， 纠删码能够以更小的数据冗余度获得更高数据可靠性。 Reed Solomon Coding是存储领域常用的一种纠删码，它的基本原理如下： 给定n个数据块d1, d2,…, dn，n和一个正整数m， RS根据n个数据块生成m个校验块， c1, c2,…, cm。 对于任意的n和m， 从n个原始数据块和m 个校验块中任取n块就能解码出原始数据， 即RS最多容忍m个数据块或者校验块同时丢失（纠删码只能容忍数据丢失，无法容忍数据篡改，纠删码正是得名与此）。

编码原理

RS编码以word为编码和解码单位， 大的数据块拆分到字长为w的word（字长w取值一般为8或者16位），然后对word进行编解码。 所以数据块的编码原理与word编码原理没什么差别， 为论述方便， 后文中变量Di, Ci将代表一个word。
首先， 把输入数据视为向量D=(D1，D2，…, Dn）, 编码后数据视为向量（D1, D2,…, Dn, C1, C2,.., Cm)，RS编码可视为如图1所示矩阵运算。 下图最左边是编码矩阵， 矩阵上部是单位阵（n行n列），下边是vandermonde矩阵B(m行n列), vandermode矩阵如图2所示， 第i行，第j列的原数值为j^(i-1)。之所以采用vandermonde矩阵的原因是， RS数据恢复算法要求编码矩阵任意n*n子矩阵可逆。

图1： RS纠删码编码运算

数据恢复原理

RS最多能容忍m个删除错误。 数据恢复原理的过程如下：
（1）从编码矩阵中删去丢失数据块和丢失编码块对应行。 假设D1、C2丢失， 根据图1所示RS编码运算等式，我们得到如下B’以及等式。

图2：vandermode矩阵
（2）由于B‘是可逆的， 两边乘上B’逆矩阵。

（3）得到如下原始数据D的计算公式

（4）对D重新编码，得到丢失的校验码

矩阵求逆采用高斯消元法， 需要进行实数加减乘除四则运算，无法作用于字长为w的二进制数据。 为了解决这个问题， RS采用伽罗华群GF（2^w)中定义的四则运算法则。 GF(2^w）域有2^w个值， 每个值都对应一个低于w次的多项式， 这样域上的四则运算就转换为多项式空间的运算[2]。 GF(2^w)域中的加法就是XOR， 乘法比较特殊，需要维护两个大小为2^w -1的表格: log表gflog，反log表gfilog。

乘法公式： a * b = gfilog(gflog(a) + fglog(b)) % (2^w -1)

CRS(Cauchy Reed Solomon)

RS纠删码的计算代价较高， 瓶颈在于乘除法， 乘除法操作需要3次查表操作， 一次加(减）法操作， 一次条件判断，一次取模操作（可优化为一次条件判断和一次减法操作）。 CRS从两个方面优化RS性能
(1) 使用Cauchy编码矩阵， Cauchy编码矩阵的好处是求逆矩阵比较快
(2) 将GF(2^w)中的运算全部转换为XOR， 其中的数学原理比较复杂， 可参见文献[3]

小结

RS的特点：
(1)低冗余度，高可靠性。
(2) 数据恢复代价高。 丢失数据块或者编码块时， RS需要读取n个数据块和校验块才能恢复数据， 数据恢复效率也在一定程度上制约了RS的可靠性。
(3) 数据更新代价高。 数据更新相当于重新编码， 代价很高， 因此常常针对只读数据，或者冷数据。
(4) RS编码依赖于两张2^w-1大小的log表， 通常只能采用16位或者8位字长，不能充分利用64位服务器的计算能力， 具体实现上可能要做一些优化。

其第i 行、第j 列可以表示为(αi)^(j-1)
参考文献：
[1]James S. Plank. Erasure Codes For Storage Application.
[2]James S. Plank. A Tutorial on Reed-Solomon Coding for Fault-Tolerance in RAID-like Systems
[3]James S. Plank. Optimizing Cauchy Reed-Solomon Codes for Fault-Tolerant Storage Applications