BZOJ3295 CQOI2011 动态逆序对

3295: [Cqoi2011]动态逆序对

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Description

对于序列A，它的逆序对数定义为满足i<j，且A_i>A_j的数对(i,j)的个数。给1到n的一个排列，按照某种顺序依次删除m个元素，你的任务是在每次删除一个元素之前统计整个序列的逆序对数。

Input

输入第一行包含两个整数n和m，即初始元素的个数和删除的元素个数。以下n行每行包含一个1到n之间的正整数，即初始排列。以下m行每行一个正整数，依次为每次删除的元素。

 

Output

 

输出包含m行，依次为删除每个元素之前，逆序对的个数。

Sample Input

5 4
1
5
3
4
2
5
1
4
2

Sample Output

5
2
2
1

样例解释
(1,5,3,4,2)(1,3,4,2)(3,4,2)(3,2)(3)。

HINT

N<=100000 M<=50000

这道题显然是裸题，不过即使是裸题还是有一点点价值的，因为这种题的做法比较多，可以多练习下模板（捂脸）。

做法1：主席树，这个很显然，不用多说了，PS：因为M是N的一半，所以要静态建树，修改M次时再套用树状数组，空间复杂度是MlogNlogN，否则是NlogNlogN，会爆空间（不要问我为什么知道，我不想说=.=）

做法2：二维线段树，和主席树差不多啊，同样要注意空间问题。

做法3：树状数组套平衡树。如果平衡树选择的是Splay就要注意很多问题：同样要先静态求出答案，因为splay的常数比较大，同时插入的时候要打乱顺序，因为Splay若是插入有序的数列复杂度会退化（话说是不是我写的不对？）。所以比较好的选择是用Treap，常数很低，复杂度稳定，直接倒过来插入N个数就行了，简单粗暴，代码100行都不要（主席树和Splay的我写了150行）。

做法4：分块，这个代码就更短了，不过复杂度堪忧，Nsqrt(N)log(sqrt(N))，不过令人高兴的是BZOJ貌似是只看总时间的（?），所以可以水过，PS：分块的总时间看来并没有比前面几种算法慢，是数据水还是复杂度可以特殊分析？

做法5：显然后面的插入对前面的询问不会有影响，且这个问题的本质是计数问题，所以插入之间互相不影响效果，即每个插入对答案的贡献是独立的，所以我们可以采用按时间分治的算法，将操作（一个点的插入和询问可以分成两个）分成两部分，递归处理后再计算前半部分的插入对后半部分的查询造成的影响。那么我们将原问题转化为：

给定平面上一些点，再询问若干个点，回答询问的点左上角（右下角的可以分开来做，也可以合起来）（即坐标在他之前的，值比他大）有多少个点。那么我们此时将询问和给定点再看成一些操作并按X坐标排序，我们发现该问题仍然满足之前的性质，即X坐标大的插入不影响X坐标小的询问，那么我们再次运用按时间分治，将问题继续简化为：

给定一些数和一些询问数，对于每个询问回答比他大的数有多少个。显然若将询问和插入排好序，则可以线性回答，我们发现在分治时已经将该区间的左右分别排序，那么怎么得到这个区间的排序呢？这个问题是不是很熟悉，对！就是归并排序，同时归并排序的本质也就是按时间分治。

那么处理最后一个问题的复杂度就是O(N)，同时我们套用了两层分治，总复杂度为NlogNlogN，由于分治的常数特别小，而且空间占用为O(N)，所以该做法的空间，时间，编程复杂度均小于前面几种做法。（CDQ大法好，离线大法好）

至于代码呢，我当然是没有的，毕竟我这种人只会耍嘴炮=.=（这种模板题放了代码也没用吧，自己写一遍最好理解）