MATLAB的solve函数

简单来说，solve函数可以进行以下情况的求解：

（1）等式：单/多变量+线性/非线性 ；（2）不等式

（是MATLAB doc solve的全部翻译，将常用部分标注彩色）

语法

S = solve(eqn,var)example

S = solve(eqn,var,Name,Value)example

Y = solve(eqns,vars)

Y = solve(eqns,vars,Name,Value)example

[y1,...,yN] = solve(eqns,vars)example

[y1,...,yN] = solve(eqns,vars,Name,Value)

[y1,...,yN,parameters,conditions] = solve(eqns,vars,'ReturnConditions',true)example

Description

一些函数

vpa 设置数值的精度（有效数字位数、保留的小数点位数）

subs 符号替换（用数字来替换符号变量）

ezplot 简单地画出函数的图形/曲线（显函数fun(x)、隐函数fun2(x,y)=0）

isAlways 一个判断函数（返回logical 1，表示true）

pretty 漂亮地打印符号表达式（看起来是有分子分母的格式）

举例

1.%% 求解单变量方程
%-----例子1------
syms x
eqn=sin(x)==1;
solve(eqn,x)
%-----例子2------
syms x
eqn=sin(x)==1;
[solx,params,conds]=solve(eqn,x,'ReturnConditions',true)
%-----例子3---------------
%如果返回empty，则表明解不存在。如果返回empty+warning，则解可能存在，但是solve找不到
syms x
solve(3*x+2,3*x+1,x)


2.%% 求解多变量方程
%---例1-----------------
%为了避免求解方程时对符号参数产生混乱，需要指明一个等式中需要求解的变量。
%如果不指明的话，solve函数就会通过symvar选择一个变量（认为该变量是要求解的变量）
clc,clear
syms a b c x
sola=solve(a*x^2+b*x+c==0,a)   %待求解的变量是a
sol=solve(a*x^2+b*x+c==0)  %待求解的变量是x


%----例子2--------------
%当求解的变量大于1个时，你声明变量的顺序就是slove返回解的顺序
syms a b
[b,a]=solve(a+b==1,2*a-b==4,b,a)


3.%% solve返回的解带有：参数&条件
%为了返回一个方程的完整的解（即解中含有的参数，及对参数的限制），需要指定ReturnConditions 为：true
%---例子1：关于解的约束----
clc,clear
syms x
S=solve(sin(x)==0 ,x,'ReturnConditions',true);
S
S.x
S.parameters
S.conditions
%为了找到x的数值解，以一个值（利用函数subs）代替k。用函数isAlways检验该值是否满足关于k的限制
%检验k=4是否满足in(k, 'integer')
isAlways(subs(S.conditions,S.parameters,4))
%isAlways返回的是logical 1(true)，这意味着：对于k而言，4是一个合法值。
%利用4代替k，得到x的一个解。利用函数vpa获得该逼近的数值解(vpa设置数值精度：保留几位有效数字、几位小数)
solx=subs(S.x,S.parameters,4)
vpa(solx)
%为0
assume(S.conditions)
solk=solve(S.x>0,S.x<2*pi,S.parameters)
solx=subs(S.x,S.parameters,solk)


4.%% 求解方程组（为变量分配解）------------
%当求解方程组的时候，利用多个输出项对应求解的输出变量。
%solve返回一个符号数组（为每个相互独立的变量）
%-----例子1--------------
syms a u v
[sola,solu,solv]=solve(a*u^2+v^2==0,u-v==1,a^2+6==5*a,a,u,v)
solutions=[sola,solu,solv]
%----例子2------------
syms x y z
[solx,soly,solz]=solve(35*(y-x)==0,-7*x-x*z+28*y==0,x*y-3*z==0,x,y,z)
solutions=[solx,soly,solz]


5.%% 返回方程组完整的解（包括：参数和约束条件）
%需要指定ReturnConditions 为：true
%输出则要多附加两项：parameters 、conditions
clc,clear
syms x y
[solx,soly,params,conditions]=solve(sin(x)==cos(2*y) , x^2==y , [x,y],'ReturnConditions',true)
solutions=[solx,soly]


6.%% 返回数值解
%解析解（analytical solution）：用严格的公式表示的解。
%数值解（numerical solution）：无法用严格的公式表示，是采用某种计算方法（有限元、逼近、插值）得到的。
%symbolic solver无法找到精确的用符号表示的解，因此在调用numeric solver之前会事先声明（warning）。因为等式不是多项式，所以想要找到全部可能的解需要很长时间。
%numeric solver不会尽力去找等式的全部numeric solution，它仅仅返回它找到的第一个解。
clc,clear
syms x
solve(sin(x)==x^2-1,x)
%验证上面的等式确实有一个正值解：画出等式的左右两部分的曲线
ezplot(sin(x),-2,2)
hold on
ezplot(x^2-1,-2,2)
hold off
%也可以直接用函数vpasolve求出数值解（需要定义（寻找）解的范围）
vpasolve(sin(x)==x^2-1,x,[0 2 ])


7.%% 求解不等式
%solve能求解满足约束条件的不等式
%需要指定ReturnConditions 为：true。这样可以返回解中涉及到的任何参数和约束条件
% x>0
% y>0
% x^2+y^2+xy<1
clc,clear
syms x y
S=solve(x^2+y^2+x*y<1,x>0,y>0    ,   [x,y], 'ReturnConditions',true);
solx=S.x
soly=S.y
params=S.parameters
conditions=S.conditions
%利用subs和isAlways检验u=7/2和v=1/2是否满足约束条件
isAlways(subs(S.conditions,S.parameters,[7/2,1/2]))
%isAlways返回loogical 1（true）表示这些值满足约束条件。将这两个参数的值带入(函数subs)S.x和S.y中，找到一个x和y的解
solx=subs(S.x,S.parameters,[7/2,1/2])
soly=subs(S.y,S.parameters,[7/2,1/2])
%用函数vpa得到解的数值形式
vpa(solx)
vpa(soly)


8.%% 返回实数解
clc,clear
syms x
solve(x^5==3125,x)
%如果仅仅需要一个实数解，那么就把选项Real设置成true
solve(x^5==3125,x,'Real',true)




9.%% 返回一个解（主值Principal）
%不是返回一个无限多元素的周期解的集合，而是选择其中的最为实际的3个解（实际的、实用性的be most practical）
syms x
solve(sin(x)+cos(2*x)==1,x)
%利用选择PrincipalValue设置为true选择一个解（主值）
solve(sin(x)+cos(2*x)==1,x,'PrincipalValue',true)


10.%% 应用简化规则来缩短结果
%solve默认是不对解采用简化规则的，但是这些解从数学上来讲，不总是正确的。这样以来，solve就不能symbolically求解方程了。
clc,clear
syms x
solve(exp(log(x)*log(3*x))==4 , x)
%将IgnoreAnalyticConstraints （忽略解析约束）设置为true，这样就会应用简化规则，有可能让solve找到一个结果。
%简化规则的目的就是为了找到一个解。
%但是也不是任何情况下都可以应用简化规则，因此，应用简化规则后，应该对解的正确与否进行核实
S=solve(exp(log(x)*log(3*x))==4 , x,'IgnoreAnalyticConstraints',true)


11.%% 忽略有关变量的假设
%sym和syms函数可以让你对符号变量进行假设（设置assumptions）。例如，可以声明x为正值
clc,clear
syms x positive
%那么，在上述假设下，求得的解只能是符合假设的解
solve(x^2+5*x-6==0,x)
%如果想要得到方程全部的解，则需要将IgnoreProperties 设置为true
solve(x^2+5*x-6==0,x,'IgnoreProperties ',true)
%为了后续计算，清除之前的假设
syms x clear


12.%% 数值逼近符号解（that  Contain RootOf）
%当求解多项式的时候，solve可能返回包含RootOf的解。为了数值逼近这些解，可以采用vpa函数。
clc,clear
syms x 
s=solve(x^4+x^3+1==0,x)
%因为解中没有参数，所以可以采用vpa进行数值逼近
vpa(s)


13.%% 求解高阶的多项式等式
%当求解高阶的多项式方程的时候，solve可能采用 RootOf表示求得的解
clc,clear
syms x a
solve(x^4+x^3+a==0,x)
%为了得到方程的显式解，尝试调用带有参数MaxDegree的solve函数。该选项规定了多项式最大的degree，solve以此标准返回显式解。
%默认值是3。增大该数值，就可以得到高阶多项式的显式解。
s=solve(x^4+x^3+a==0,x,'MaxDegree',4)
pretty(s)