算法导论学习笔记-第8章 线性时间排序

8.1 排序算法时间的下界

比较排序：the sorted order they determine is based only on comparisons between the input elements.

比较排序可以被抽象地视为决策树。

定理8.1  任意一个比较排序算法在最坏情况下，都需要做Ω(nlgn) 次的比较。

推论8.2 堆排序和合并排序都是渐近最优的比较排序算法。

8.2 计数排序

计数排序假设n个输入元素中的每一个都是介于0到k之间的整数，此处k为某个整数。当k=O(n)时，计数排序的运行时间为θ(n)。

基本思想：对每一个输入元素x，确定出小于x的元素个数。

伪代码：

COUNTING-SORT(A,B,k) for i=0 to k do C[i] = 0 for j=1 to length[A] do C[A[j]] = C[A[j]] + 1 //C[i]包含等于i的元素个数 for i=1 to k do C[i] = C[i]+C[i-1] //C[i]包含小于或等于i的元素个数 for j=length[A] downto 1 do B[C[A[j]]] = A[j] C[A[j]] = C[A[j]] -1

C代码：

#include void counting_sort(int a[],int b[],int k,int n) { int i; int c[k]; for(i = 0; i < k; i++) c[i] = 0; for(i = 0;i < n; i++) c[a[i]] ++; for(i = 1; i < k; i++) c[i] += c[i-1]; for(i = n-1; i >= 0; i--) { b[c[a[i]]-1] = a[i]; c[a[i]] --; } } int main() { int i; int a[15] = {4,5,7,1,2,4,3,8,8,9,10,3,12,2,14}; int b[15]; int n = 15; int k = 15; counting_sort(a,b,k,n); for(i = 0; i < n; i++) printf(" %d ",b[i]); printf("/n"); return 0; }

计数排序的时间复杂度为θ(k+n)。当k=O(n)时，其运行时间为θ(n)。

计数排序是稳定的。

8.3 基数排序

首先按最低有效位数字进行排序。按位排序要稳定。

输入数组A，每个元素都有d位数字，其中第1位是最低位，第d位是最高位。

伪代码：

RADIX-SORT(A，d) for i=1 to d do use a stable sort to sort array A on digit i

时间复杂度：θ(d(n+k))

8.4 桶排序

假设：输入由一个随机过程产生，该过程将元素均匀而独立地分布在区间[0，1)上。

思想：把区间[0,1)划分成n个相同大小的子区间，或称桶。然后，将n个输入元素分不到各个桶中去。先对各个桶中的数进行排序，然后按次序把各桶中的元素列出来。

BUCKET-SORT(A) n = length[A] for i=1 to n do insert A[i] into list B[nA[i]] for i=0 to n-1 do sort list B[i] with insertion sort concatenate the list B[0],B[1], …,B[n-1] together in order

时间复杂度：θ(n)