编程之美之买书问题

这个问题来自《编程之美》这本书，应该在微软面试中出现过。是一个典型的动态规划问题。

问题描述
《哈利波特》系列一共有五卷，每一卷售价均8欧元。同时买不同的卷（各一本）有折扣，具体如下表所示。

购买方案	折扣
2卷	5%
3卷	10%
4卷	20%
5卷	25%

在一份订单中，根据购买的卷数及本数，可以有多种不同折扣规则。但一本书只能应用一个折扣规则。
设计一个算法，计算购书组合，使得所购买的一批书花费最少。

求解及分析
假设输入为：1本卷1，2本卷2，2本卷3，2本卷4，1本卷5
购买组合及其折扣
5*0.25+3*0.1=1.55
4*0.2+4*0.2=1.6
3*0.1+3*0.1+2*0.05=0.7
2*0.05+2*0.05+2*0.05+2*0.05=0.4
可以看出最优组合为4+4时折扣最大。

程序描述
IDE：vs2010
语言：c++
工程：win32控制台程序

基本程序文件
数据结构定义文件：CommonDefine.h

#pragma once
#include 
#include 
#include 

算法采用策略模式，定义一个统一接口IBuyMethod.h。

#pragma once
#include "CommonDefine.h"

class IBuyMethod
{
public:
    virtual ~IBuyMethod() {}

    /*
    @brief 购买书籍方法
    @param[in] vBookList 待购买列表
    @param[out] vBuyPlan 购买折扣及组合
    */
    virtual void BuyBook(const VctBookInfo& vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan) = 0;
};

对应运行类CBookBuy。

BookBuy.h

#pragma once
#include "IBuyMethod.h"

class CBookBuy
{
public:
    CBookBuy(void);
    ~CBookBuy(void);

    void Run();

private:
    void InitBookList();
    
private:
    IBuyMethod* m_pMethod;
    vector m_vBookList;
};

BookBuy.cpp

#include "StdAfx.h"
#include "BookBuy.h"
#include "GreedyBuy.h"
#include "DynPrgBuy.h"
#include "DynPrgBuyM.h"
#include 

using namespace std;

CBookBuy::CBookBuy(void)
{
    //算法采用了策略模式，方便随时替换
    m_pMethod = new CGreedyBuy();
    //m_pMethod = new CDynPrgBuy();
    //m_pMethod = new CDynPrgBuyM();

    InitBookList();
}

CBookBuy::~CBookBuy(void)
{
    delete m_pMethod;
    m_pMethod = NULL;

    m_vBookList.clear();
}

void CBookBuy::Run()
{
    VctBuyPlan vBuyPlan;
    m_pMethod->BuyBook(m_vBookList, vBuyPlan);

    double dbTotalOff = 0;
    VctBuyPlan::iterator vPlanIter = vBuyPlan.begin();
    for (; vPlanIter != vBuyPlan.end(); ++vPlanIter)
    {
        double dbCurOff = vPlanIter->dbOff;
        int nCurCount = (int)vPlanIter->vBuyBooks.size();
        double dbSubOff = dbCurOff*nCurCount;
        dbTotalOff += dbSubOff;

        cout<<"当前折扣："<::iterator vBookIter = vPlanIter->vBuyBooks.begin();
        for (; vBookIter != vPlanIter->vBuyBooks.end(); ++vBookIter)
        {
            cout<<(*vBookIter)<<" ";
        }
        cout<

可以调用来运行
CBookBuy buyTool;
buyTool.Run();

贪心算法
直观上想，每步都取折扣最大的组合，这样可以实现贪心算法。

GreedyBuy.h

#pragma once
#include "IBuyMethod.h"

//贪心购买算法
class CGreedyBuy : public IBuyMethod
{
public:
    CGreedyBuy(void);
    virtual ~CGreedyBuy(void);

    virtual void BuyBook(const VctBookInfo& vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan);

private:
    //移除已空的书籍
    void RemoveEmptyBook(VctBookInfo& vBookList);
};

GreedyBuy.cpp

#include "StdAfx.h"
#include "GreedyBuy.h"

CGreedyBuy::CGreedyBuy(void)
{
}

CGreedyBuy::~CGreedyBuy(void)
{
}

void CGreedyBuy::BuyBook(const VctBookInfo& vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan)
{
    VctBookInfo vInputBook = vBookList;

    //贪心算法，确保当前步获取为最优值
    double dbTotalSum = 0;
    while (true)
    {
        RemoveEmptyBook(vInputBook);
        if (vInputBook.empty())
        {
            break;
        }

        int nVolCount = 0;

        vector vCurBooks;
        VctBookInfo::iterator vIter = vInputBook.begin();
        for (; vIter != vInputBook.end(); ++vIter)
        {
            ++nVolCount;
            --vIter->nBookCount;
            vCurBooks.push_back(vIter->strVolIdx);
        }

        double dbOff = 0;
        switch (nVolCount)
        {
        case 2: dbOff = 0.05; break;
        case 3: dbOff = 0.10; break;
        case 4: dbOff = 0.20; break;
        case 5: dbOff = 0.25; break;
        }

        StBuyPlan planInfo;
        planInfo.dbOff = dbOff;
        planInfo.vBuyBooks = vCurBooks;
        vBuyPlan.push_back(planInfo);
    }
}

void CGreedyBuy::RemoveEmptyBook(VctBookInfo& vBookList)
{
    VctBookInfo::iterator vIter = vBookList.begin();
    for (; vIter != vBookList.end();)
    {
        if (vIter->nBookCount > 0)
        {
            ++vIter;
        }
        else
        {
            vIter = vBookList.erase(vIter);
        }
    }
}

　　运行结果如下
　　当前折扣：1.25=0.25*5   购买组合:卷1 卷2 卷3 卷4 卷5
　　当前折扣：0.3=0.1*3     购买组合:卷2 卷3 卷4
　　总的折扣：1.55
　　
　　最大折扣为1.6，贪婪算法得到的结果并不是最优的。
　　
基本动态规划
　　每卷的价格都一样，故算法可做简化。
　　F为总折扣率。
　　输入Y为每卷的书数。

其中Y1,Y2,Y3,Y4,Y5根据大小做过排序，Y1>Y2>Y3>Y4>Y5。
　　F(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)
　　= 0 if (Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=0)
　　= max{
　　5*0.25+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1), if (Y5>=1)
　　4*0.20+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5), if (Y4>=1)
　　3*0.10+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5), if (Y3>=1)
　　2*0.05+F(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4,Y5), if (Y2>=1)
　　1*0+F(Y1-1,Y2,Y3,Y4,Y5), if (Y1>=1)
　　}
　　动态规划，获取最大的折扣。
　　
　　例：
　　F(1,2,2,2,1)
　　= max{
　　5*0.25+F(0,1,1,1,0),
　　4*0.20+F(0,1,1,1,1),
　　3*0.10+F(0,1,1,2,1),
　　2*0.05+F(0,1,2,2,1),
　　1*0+F(0,2,2,2,1),
　　}
　　//等价于，排序结果
　　= max{
　　5*0.25+F(1,1,1,0,0),
　　4*0.20+F(1,1,1,1,0),
　　3*0.10+F(2,1,1,1,0),
　　2*0.05+F(2,2,1,1,0),
　　1*0+F(2,2,2,1,0),
　　}

源码DynPrgBuy.h。

#pragma once
#include "IBuyMethod.h"

//动态规划算法求解
class CDynPrgBuy : public IBuyMethod
{
public:
    CDynPrgBuy(void);
    ~CDynPrgBuy(void);

    virtual void BuyBook(const VctBookInfo& vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan);

private:
    double BuyByDyn(VctBookInfo vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan);
    //移除已空的书籍
    void RemoveEmptyBook(VctBookInfo& vBookList);
};

DynPrgBuy.cpp

#include "StdAfx.h"
#include "DynPrgBuy.h"
#include 

using namespace std;

CDynPrgBuy::CDynPrgBuy(void)
{
}

CDynPrgBuy::~CDynPrgBuy(void)
{
}

void CDynPrgBuy::BuyBook(const VctBookInfo& vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan)
{
    BuyByDyn(vBookList, vBuyPlan);
}

//动态规划求最优的问题
double CDynPrgBuy::BuyByDyn(VctBookInfo vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan)
{
    RemoveEmptyBook(vBookList);
    if (vBookList.empty())
    {
        return 0;
    }

    //对书本个数从大到小排列
    sort(vBookList.begin(), vBookList.end(), greater());

    static int s_count = 0;
    ++s_count;
    cout< mapBuyPlan;
    int nBookCount = (int)vBookList.size();
    for (int i = nBookCount; i >=1; i--)
    {
        int nBuyCount = i;
        VctBookInfo vTempList = vBookList;

        //计算当前所有的折扣
        double dbOff = 0;
        switch (nBuyCount)
        {
        case 1: dbOff = 0; break;
        case 2: dbOff = 0.05; break;
        case 3: dbOff = 0.10; break;
        case 4: dbOff = 0.20; break;
        case 5: dbOff = 0.25; break;
        }

        StBuyPlan buyPlan;
        buyPlan.dbOff = dbOff;
        for (int j = 0; j < nBuyCount; j++)
        {
            StBookInfo& bkInfo = vTempList[j];
            --bkInfo.nBookCount;
            buyPlan.vBuyBooks.push_back(bkInfo.strVolIdx);
        }

        //计算左折扣
        double dbLeftOff = dbOff*nBuyCount;
        //计算右折扣，需递归
        VctBuyPlan vTempPlan;
        vTempPlan.push_back(buyPlan);
        double dbRightOff = BuyByDyn(vTempList, vTempPlan);
        //当前购买方式折扣
        double dbCurOff = dbLeftOff + dbRightOff;
        //折扣与组合方式映射
        mapBuyPlan.insert(make_pair(dbCurOff, vTempPlan));
    }

    if (mapBuyPlan.empty())
    {
        return 0;
    }

    //取所有折扣中的最大值
    //利用map特性取最后一个值即为最大值
    map::iterator mBigPos = mapBuyPlan.end();
    --mBigPos;
    vBuyPlan.insert(vBuyPlan.end(), mBigPos->second.begin(), mBigPos->second.end());

    return mBigPos->first;
}

void CDynPrgBuy::RemoveEmptyBook(VctBookInfo& vBookList)
{
    VctBookInfo::iterator vIter = vBookList.begin();
    for (; vIter != vBookList.end();)
    {
        if (vIter->nBookCount > 0)
        {
            ++vIter;
        }
        else
        {
            vIter = vBookList.erase(vIter);
        }
    }
}

　　运行结果如下。
当前折扣：0.8=0.2*4     购买组合:卷2 卷3 卷4 卷1
当前折扣：0.8=0.2*4     购买组合:卷2 卷3 卷4 卷5
总的折扣：1.6
循环体执行了124次
由于采用了递归，时间复杂度太高，这是一个指数级的算法。

改进动态规划
仔细分析可以发现，递归算法中重复执行了很多步骤。
比如F(1,2,2,2,1)中包含F(1,1,1,0,0)求解，我们将这个值做下缓存。当再次需要F(1,1,1,0,0)值时，直接从缓存中获取即可。
DynPrgBuyM.h

#pragma once
#include "IBuyMethod.h"

//动态规划算法求解
class CDynPrgBuyM : public IBuyMethod
{
public:
    CDynPrgBuyM(void);
    ~CDynPrgBuyM(void);

    virtual void BuyBook(const VctBookInfo& vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan);

private:
    double BuyByDyn(VctBookInfo vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan);
    void BuyAllGroup(const VctBookInfo& vBookList, map& mapBuyPlan);
    //移除已空的书籍
    void RemoveEmptyBook(VctBookInfo& vBookList);

    CString GetBuyKey(const VctBookInfo& vBookList);

private:
    map> m_BuyMap;//加载一个缓存来提高计算效率
};

DynPrgBuyM.cpp

#include "StdAfx.h"
#include "DynPrgBuyM.h"
#include 

using namespace std;

CDynPrgBuyM::CDynPrgBuyM(void)
{
}

CDynPrgBuyM::~CDynPrgBuyM(void)
{
}

void CDynPrgBuyM::BuyBook(const VctBookInfo& vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan)
{
    BuyByDyn(vBookList, vBuyPlan);
}

//动态规划求最优的问题
double CDynPrgBuyM::BuyByDyn(VctBookInfo vBookList, VctBuyPlan& vBuyPlan)
{
    RemoveEmptyBook(vBookList);
    if (vBookList.empty())
    {
        return 0;
    }

    //对书本个数从大到小排列
    sort(vBookList.begin(), vBookList.end(), greater());

    map mapBuyPlan;

    CString strBuyKey = GetBuyKey(vBookList);
    map>::iterator mFindPos = m_BuyMap.find(strBuyKey);
    if (mFindPos != m_BuyMap.end())
    {
        mapBuyPlan = mFindPos->second;
    }
    else
    {
        static int s_count = 0;
        ++s_count;
        cout<::iterator mBigPos = mapBuyPlan.end();
    --mBigPos;
    vBuyPlan.insert(vBuyPlan.end(), mBigPos->second.begin(), mBigPos->second.end());

    return mBigPos->first;
}

void CDynPrgBuyM::BuyAllGroup(const VctBookInfo& vBookList, map& mapBuyPlan)
{
    int nBookCount = (int)vBookList.size();
    for (int i = nBookCount; i >=1; i--)
    {
        int nBuyCount = i;
        VctBookInfo vTempList = vBookList;

        //计算当前所有的折扣
        double dbOff = 0;
        switch (nBuyCount)
        {
        case 1: dbOff = 0; break;
        case 2: dbOff = 0.05; break;
        case 3: dbOff = 0.10; break;
        case 4: dbOff = 0.20; break;
        case 5: dbOff = 0.25; break;
        }

        StBuyPlan buyPlan;
        buyPlan.dbOff = dbOff;
        for (int j = 0; j < nBuyCount; j++)
        {
            StBookInfo& bkInfo = vTempList[j];
            --bkInfo.nBookCount;
            buyPlan.vBuyBooks.push_back(bkInfo.strVolIdx);
        }

        //计算左折扣
        double dbLeftOff = dbOff*nBuyCount;
        //计算右折扣，需递归
        VctBuyPlan vTempPlan;
        vTempPlan.push_back(buyPlan);
        double dbRightOff = BuyByDyn(vTempList, vTempPlan);
        //当前购买方式折扣
        double dbCurOff = dbLeftOff + dbRightOff;
        //折扣与组合方式映射
        mapBuyPlan.insert(make_pair(dbCurOff, vTempPlan));
    }
}

void CDynPrgBuyM::RemoveEmptyBook(VctBookInfo& vBookList)
{
    VctBookInfo::iterator vIter = vBookList.begin();
    for (; vIter != vBookList.end();)
    {
        if (vIter->nBookCount > 0)
        {
            ++vIter;
        }
        else
        {
            vIter = vBookList.erase(vIter);
        }
    }
}

CString CDynPrgBuyM::GetBuyKey(const VctBookInfo& vBookList)
{
    CString strTemp = _T("");
    CString strKey = _T("");
    VctBookInfo::const_iterator vIter = vBookList.begin();
    for (; vIter != vBookList.end(); ++vIter)
    {
        strTemp.Format(_T("%d"), vIter->nBookCount);
        strKey += strTemp;
        strKey += _T("$");
    }

    return strKey;
}

运行结果
当前折扣：0.8=0.2*4     购买组合:卷2 卷3 卷4 卷1
当前折扣：0.8=0.2*4     购买组合:卷2 卷3 卷4 卷5
总的折扣：1.6

循环体运行8次即可