题解 CF19E Fairy【二分图】

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题目大意

给一个无向图，要求删去一条边，让它变为二分图。问哪些边符合要求？

题解

（这题考试时拿来加强了一波，要求线性。结果我分部分分写，暴力挂了正解对了）

首先二分图的充要条件是没有奇环，着重考虑有奇环的情况（没有奇环则所有边都可行。）：

显然这条边必须在同时所有奇环上，于是我们先找到一个奇环，记它为环 $A$。BFS+染色就能实现。把环上的点和边记录下来。

接着考虑剩下的奇环：

• 若这个奇环没有边在 $A$ 上，则没有边符合要求。
• 若这个奇环有一些边在 $A$ 上，则这些边以外的边都不可行

所以将环上所有边去掉（打个标记），简单判断第一种情况，然后依次从环上的点开始 BFS，寻找环上的点到另一个点的各个路径，每个路径都可以与 $A$ 的连续一段构成奇环。如下图，$\text{深蓝色}$的环即环 $A$，$\text{浅蓝色}$（及$绿色$）的边与环上用对应颜色虚线标明的部分构成奇环。用$\text{红色}$圈出的边即符合要求的边。

考虑怎么维护环上哪些边符合要求。记录序列 $a$（每个元素对应 $A$ 的一条边）与变量 $cnt=0$。每次找到有边在 $A$ 上的环，便将 $cnt$ 加一，$A$ 上的这一段边在 $a$ 上对应的值也加一。由于这一段边一定是连续的（把环拆开成链后至多分成两段），可以用差分数组维护。最后 $O(N)$ 扫一遍，$a_i=cnt$ 者即符合要求。

时空复杂度都为 $O(N+M+k\log k)$（$k$ 为答案数量）

using namespace std;
int getint(){
	int ans=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-')f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		ans=ans*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return ans*f;
}
const int N=2000010,M=N<<1;
struct bian{
	int e,n;
	bool on;
};
bian b[M];
int s[N],tot=1;
void add(int x,int y){
	tot++;
	b[tot].e=y;
	b[tot].n=s[x];
	s[x]=tot;
}
int n,m;

int col[N],dis[N];//col: 染色; dis: 离 BFS 起点的距离
int pre[N],preb[N];//pre: BFS 时的前驱; preb: BFS 时的前一条边
int huan[N],num[N];//huan: 环上第 i 个点; num: 点在环上的编号
int huanb[N];//haunb: 环上的第 i 条边
int a[N];//a: 题解中的 a 的差分数组
int len,cnt=0;

void record(int x,int y,int xtoy){//记录奇环
	int x_=x,y_=y;
	while(dis[y]>dis[x]){
		b[preb[y]].on=b[preb[y]^1].on=1;
		y=pre[y];
	}
	while(x!=y){
		b[preb[y]].on=b[preb[y]^1].on=1;
		y=pre[y];
		b[preb[x]].on=b[preb[x]^1].on=1;
		x=pre[x];
	}
	int lca=x;
	x=x_,y=y_;
	len=dis[x]+dis[y]-dis[lca]*2+1;
	while(x!=lca){
		huan[dis[x_]-dis[x]+1]=x;
		num[x]=dis[x_]-dis[x]+1;
		huanb[num[x]]=preb[x]>>1;
		x=pre[x];
	}
	huan[dis[x_]-dis[x]+1]=x;
	num[x]=dis[x_]-dis[x]+1;
	while(y!=lca){
		huan[len-dis[y_]+dis[y]]=y;
		num[y]=len-dis[y_]+dis[y];
		huanb[num[y]-1]=preb[y]>>1;
		y=pre[y];
	}
	huanb[len]=xtoy>>1;
	b[xtoy^1].on=b[xtoy].on=1;
}
bool find_jihuan(int st){//找奇环，返回是否找到
	queueq;
	q.push(st);
	col[st]=1;
	while(q.size()){
		int f=q.front();
		q.pop();
		for(int i=s[f];i;i=b[i].n){
			if(col[b[i].e]==col[f]){
				record(f,b[i].e,i);
				return 1;
			}
			if(!col[b[i].e]){
				col[b[i].e]=3-col[f];
				pre[b[i].e]=f;
				preb[b[i].e]=i;
				dis[b[i].e]=dis[f]+1;
				q.push(b[i].e);
			}
		}
	}
	return 0;
}
bool bfs(int x){//从环上的点开始 BFS，返回是否**没有**其他奇环
	queueq;
	q.push(x);
	col[x]=1;
	while(q.size()){
		int f=q.front();
		q.pop();
		for(int i=s[f];i;i=b[i].n){
			if(b[i].on)continue;
			if(col[b[i].e]==col[f]){
				return 0;
			}
			if(!col[b[i].e]){
				col[b[i].e]=3-col[f];
				q.push(b[i].e);
				if(num[b[i].e]){
					cnt++;
					if((col[x]+col[b[i].e]+num[x]+num[b[i].e])%2==1){
						int u=x,v=b[i].e;
						if(num[u]>num[v])swap(u,v);
						a[num[u]]++;
						a[num[v]]--;
					}else{
						int u=x,v=b[i].e;
						if(num[u]>num[v])swap(u,v);
						a[1]++;
						a[num[u]]--;
						a[num[v]]++;
						a[len+1]--;
					}
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}


int main(){
	n=getint(),m=getint();
	for(int i=0;ians;
	for(int i=1;i<=len;i++){
		sum+=a[i];
		if(sum==cnt)ans.push_back(huanb[i]);
	}
	sort(ans.begin(),ans.end());
	printf("%d\n",ans.size());
	for(int i=0;i