Python算法实现（二）—— 堆排序算法

二叉堆

二叉堆本质上是一种完全二叉树，它分为两个类型：最大堆和最小堆。

1. 最大堆：最大堆任何一个父节点的值，都大于等于它左右孩子节点的值
2. 最小堆：最小堆任何一个父节点的值，都小于等于它左右孩子节点的值。

二叉堆的根节点叫做堆顶，最大堆的堆顶是最大元素，最小堆的堆顶是最小元素。

堆的自我调整

插入节点

我们首先有一个最大堆，我们希望给这个堆插入一个元素，我们首先直接将这个新元素放置到堆的最下部，此时发现最下面的子堆不满足最大堆的定义，依次向上调整：首先交换80和45，然后交换80和72，最终满足条件，此时插入节点完毕。

删除节点

首先我们要删除最小堆（如下图）的最顶端元素 0，我们首先将 0 与 3 进行交换，将最下面的元素交换到最上面。

交换结果如下图，此时发现最上面的子堆不满足最小堆的定义：

交换元素 1 和 3：

一直向下调整，直到满足所有子堆最小堆的要求，得到最终结果：

构建二叉堆

构建二叉堆也就是将一个无序的二叉树调整为二叉堆，本质上就是让所偶非叶子节点依次下沉，有两种方式——自下而上和自上而下。

自下而上就是首先看有叶子节点的最后一个堆，将其调整为一个最小堆（或最大堆），实际上就是和删除节点或插入节点时有类似的步骤，大家可以自己推一推。

堆的实现

二叉堆虽然是一棵完全二叉树，但它的存储方式并不是链式存储，二十顺序存储，也就是说二叉堆的所有节点都存储在数组当中。

我们经过观察很容易发现，所有子堆的子节点和父节点满足 {2n+1&2n+2 : n} 的关系，因此我们可以很容易得到一个节点的子节点或者父节点。因此数组和二叉树可以完全一一对应。

堆排序

思想：我们删除一个最大堆的堆顶（替换到最后面），经过自我调整，第二大的元素就会被交换上来，成为最大堆的新堆顶。
步骤：

1. 把无序数组构建成二叉堆（时间复杂度为 $O(n)$）
2. 循环删除对顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶（时间复杂度为 $O(nlogn)$）

堆排序的应用

我们还是看到 Leetcode 的 215 题：

我们直接看代码：

class Solution(object):
    def findKthLargest(self, nums, k):
        """
        :type nums: List[int]
        :type k: int
        :rtype: int
        """
        self._k = len(nums) - k
        return self.heapsort(nums)

	def heapsort(self, nums):
        # 第一步：建堆
        self.build_heap(nums)
        # 第二部：循环交换位置 最上面的节点与最下面的节点交换位置，最上面的节点向下调整
        for i in range(len(nums)-1, self._k-1,-1):
            nums[i], nums[0] = nums[0], nums[i]
            self.max_heapify(nums, 0, i)
        return nums[self._k]
        
    def build_heap(self, nums):
        length = len(nums)
        for i in range((length-1) // 2, -1, -1):
            self.max_heapify(nums, i, length)
            
    def max_heapify(self, nums, i, length):
        # 找到左右孩子节点
        left = i * 2 + 1
        right = i * 2 + 2
        if left < length and nums[left] > nums[i]:
            largest = left
        else:
            largest = i
        if right < length and nums[right] > nums[largest]:
            largest = right
            # 若最大元素不是父节点则需要交换
        if largest != i:
            nums[i], nums[largest] = nums[largest], nums[i]
            self.max_heapify(nums, largest, length)