LeetCode刷题——动态规划，No.62不同路径

题目是这样的：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

 

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

看到这道题目我第一开始的想法是深度优先搜索，然后没搜到一条不重复的路就把总路径数加一，但是看到m,n均不超过100，算了下，大致为2^100次方，肯定会超时，所以只能考虑其他的算法。

其实具体看到“求出总的路径数”这种只需要输出最终结果的描述就能够想到，既然只需要输出路径数量，而不是每条路径，那么我可不可以推导一下规律，然后直接用规律来解题呢？（笑）于是，就分析分析到达第 i 行 第 j 列的位置上，一共有多少条路径可走。考虑到每次只能向右或者向下走一步，那么到达map[i][j] 位置的上一步无非是来自于上或者左，即：到达map[i][j] 时的路径总数为到达map[i-1][j] 的路径数与到达map[i][j-1]的路径数之和。而因为在第1行中，每一步都只能来源于左方，所以只能是左方的路径数，在第1列中，每一步只能来源于上方，所以只能是上方的路径数。

递推公式：

填充方式：直接按照横向或者纵向填都行

代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        
        int a[m+5][n+5]={0};
        
        a[1][1] = 1;
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            a[i][1]=1;
        }
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            a[1][i]=1;
        }
        
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            for(int j=2;j<=n;j++)
            {
                a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
            }
        }
        
        return a[m][n];
        
    }
};

这里要注意一下：如果m、n都为1的话，也就是说自己到自己也是要算做一条路的，所以在初始化时，dp[1][1]=1；