Codeforces 442B Andrey and Problem 大胆猜想,小心求证

题意

$$\begin{gathered} 有n个事件,每个事件发生的概率为p_i. \\ 要求取其中一些事件构成的子集,使得选出来的事件中只发生一件的概率最大. \\ 求最大的概率. \end{gathered}$$

题解

真的是非常大胆,数据范围$100$的题目标算复杂度$nlogn$,佩服一下出题人.
我觉得这题能够大胆贪心的大佬也是胸有成竹,心里非常沉稳.
标算算法把$p$从大到小排序,选择前缀的事件只发生一件的最大概率即可.
为什么可以这么做?
我们需要最大化
$$\prod (1-p_i)\cdot \sum \frac{p_i}{1-p_i}$$
令$P=\prod (1-p_i),S=\sum \frac{p_i}{1-p_i}$.
我们假设已经有一个集合,当我们再在这个集合中加入一个发生概率$p_i$的事件的时候,该集合中事件仅发生一件的概率会增加
$$\Delta =-P\cdot S+P(1-p_i)\cdot (S+\frac{p_i}{1-p_i})=P\cdot p_i(1-S)$$
这样的话我们发现当我们加入一个事件的时候,仅有$S<1$会导致仅发生一件事的概率增加.
假设我们加入两件发生概率分别为$p_i$和$p_j$的事件.则发生概率变化值之差为
$${\Delta }_i-{\Delta }_j=P\cdot p_i\cdot (1-S)-P\cdot p_j\cdot (1-S)=P\cdot (1-S)\cdot (p_i-p_j)>0$$.
当$S<1$时我们可以得知$p_i>p_j$.
证毕.
最后你需要求前缀概率.
令$p0[i]$表示前$i$件事都不发生的概率,$p1[i]$表示前$i$件事发生一件的概率.
p0[i]=p0[i-1]*(1-p[i]); // 前i-1件事都不发生的概率乘上这件事也不发生的概率.
p1[i]=p0[i-1]*p[i]+p1[i-1]*(1-p[i]); // 前i-1件事都不发生的概率乘这件事发生的概率加上前i-1件事发生一件的概率乘这件事不发生的概率.
好了.

#include //Ithea Myse Valgulious
using namespace std;
const int aoi=1018;
typedef double db;
db p[aoi],p0[aoi]={1.0},p1[aoi];
int main() {
int n=read(),i;
for (i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
sort(p+1,p+n+1,greater<db>());
for (i=1;i<=n;++i) 
  p0[i]=p0[i-1]*(1-p[i]),
  p1[i]=p0[i-1]*p[i]+p1[i-1]*(1-p[i]);
printf("%.9lf\n",*max_element(p1+1,p1+n+1));
}

谢谢大家.