Codeforces 891E Lust
Description
给出一个长度为 n 的数组 a ，有一个计数器 res ，接下来进行 k 次操作，每次操作等概率的选择 [1,n] 中的某个数 i ，然后 res 加上 ∑j≠iaj ，然后 ai=ai−1 ，求 res 的期望值模 109+7 。
Data Constraint
2≤n≤5000 0≤ai,k≤109
Solution
首先通过归纳可以得到题目让我们求的是
E[Πni=1ai−Πni=1(ai−bi)]
其中
∑ni=1bi =
k 。
那也就是让我们求
E[Πni=1(ai−bi)]
将选择 [1,n] 中的每个数的概率看成 1 ，最后答案再乘上 1nk 即可。
接下来我们考虑生成函数 EGF 。
考虑 ai 它的生成函数 Fi(x)
Fi(x)=∑j≥0(ai−j)xjj!
Fi(x)=∑j≥0aixjj!−∑j≥1xj(j−1)!
Fi(x)=∑j≥0aixjj!−∑j≥0xj+1j!
Fi(x)=aiex−xex
Fi(x)=ex(ai−x)
那总的答案的生成函数 F(x) = Πni=1Fi(x) = enxΠni=1(ai−x)
那答案就是让我们求 [xk]n!nkF(x) ，也就是 [xk]n!nkenxΠni=1(ai−x)
O(n2) 暴力卷积求出 Πni=1(ai−x) ，或者打个分治 NTT O(n log2 n) 也行，记得到的多项式为 G(x) 。
那答案就是求 [xk]n!nkenxG(x)
考虑到 G(x) 只有 n+1 项，于是答案可以写成
Ans=n!nk∑i=0n[xi]G(x)[xk−i]enx
Ans=n!nk∑i=0n[xi]G(x)nk−i(k−i)!
Ans=1nk∑i=0n[xi]G(x)nk−iki−
随便算算就好，时间复杂度 O(n2) 或 O(n log2 n)
Code
#includefor(int m=2;m<=mm;m<<=1){
int half=m>>1,U=ZD/m;
fo(i,0,half-1){
ww=sig==1?w[U*i]:w[ZD-U*i];
for(int j=i;jm){
v=c[j+half]*ww%mo;
c[j+half]=(c[j]-v+mo)%mo;
c[j]=(c[j]+v)%mo;
}
}
}
if(sig==-1){
ll ny=ksm(mm,mo-2);
fo(i,0,mm-1)c[i]=c[i]*ny%mo;
}
}
void divi(int l,int r)
{
if(l+100>=r){
g[0]=1;
fo(i,1,r-l+1)g[i]=0;
fo(i,l,r){
fd(j,i-l+1,1)g[j]=(g[j]*a[i]-g[j-1]+mo)%mo;
g[0]=g[0]*a[i]%mo;
}
fo(i,l,r)f[i]=g[i-l+1];
return;
}
int mid=l+r>>1;
divi(l,mid); divi(mid+1,r);
int ss=0,mm=1;
while(mm<=r-l+2)mm<<=1,++ss;
fo(i,l,mid)aa[i-l+1]=f[i];
aa[0]=1;
fo(i,l,mid)aa[0]=aa[0]*a[i]%mo;
fo(i,mid-l+2,mm)aa[i]=0;
fo(i,mid+1,r)bb[i-mid]=f[i];
bb[0]=1;
fo(i,mid+1,r)bb[0]=bb[0]*a[i]%mo;
fo(i,r-mid+1,mm)bb[i]=0;
fo(i,0,mm-1)bits[i]=(bits[i>>1]>>1)|((i&1)<1);
dft(aa,mm,1);
dft(bb,mm,1);
fo(i,0,mm-1)aa[i]=aa[i]*bb[i]%mo;
dft(aa,mm,-1);
fo(i,l,r)f[i]=aa[i-l+1];
}
int main()
{
cin>>n>>k;
ll lj=ksm(n,(mo-2)*k);
fo(i,1,n)a[i]=read();
prepare();
divi(1,n); f[0]=1;
fo(i,1,n)f[0]=f[0]*a[i]%mo;
ll dq=0,ans=0;
jc[0]=k;
fo(i,1,n)jc[i]=jc[i-1]*(k-i)%mo;
if(n1);
fd(i,n,0){
if(i==k)dq=1;else dq=dq*n%mo;
ll dd=f[i]*dq%mo;
if(i!=0)dd=dd*jc[i-1]%mo;
ans=(ans+dd)%mo;
}
ans=ans*lj%mo;
ll js=1;
fo(i,1,n)js=js*a[i]%mo;
ans=(js-ans+mo)%mo;
cout<