整数开方算法

1 目的

  本文阐述了常用的开方算法的原理，重点描述了整数开方算法的实现并给出实例源码，旨在提高不带FPU的处理器处理开发的效率。

2 常用的开方算法

2.1 逼近法

        2.1.1 二分法逼近

                选取一个平方值大于目标值a的值b，和一个小于目标值的值c，取中间值d=(b+c)/2的平方e与a比较，若偏大，设置b的新值为d，否则设置c的新值为d，直至d的平方等于a或者b和c相等位置。这种猜测操作简单，但迭代次数过多，这里不详细描述，亦不给出源码。

        2.1.2 牛顿法逼近

                我们知道，在二维曲线的上的一点，沿着切线方向的变化速度最大。所以，如果我们确定了一个函数g(x)，并且知道了它的目标值a对应的x的值，求g(x)=a等效于求g(x)-a的零点。取起点为x0，只考虑泰勒展开的前面两项，就是f(x)=g(x)-a=0的切线，亦即f(x0)+f'(x0)*(x-x0)=0，那么x=x0-f(x0)/f'(x0)，对于开方，f(x)=x^2，那么，我们求的x=x0-(x0^2-a)/(2*x0)=(x0+a/x0)/2，再以x为新起点不断迭代，直至x和x0相等或者x的平方等于a为止。

2.2 数学法分离

       类似于我们数学的常规思维，以10机制为例，我们知道，每一位的平方的结果，要么是个一位数（eg.2x2=4），要么是个两位数(eg.7x7=49)，我们把一个数两两分组，先猜最高位组，剩下的余数落入次高位组，再尝试去猜次高位组。例如，我们假设一个数abcd，若k^2=abcd，那么k应该是个2位数，假设k=10*x+y，那么abcd=(100*x^2+20*x*y+y^2)，我们先猜出了x，那么abcd-100*x^2=20*x*y+y^2，也就是通过ab猜出x后，将余数放进cd的结果是20*x*y+y^2，我们知道了x，下一步要猜的数就是y，同样，在0到9范围内猜出不大于20*x*y+y^2的数，然后继续下一步。注意，这里进行迭代的x不只是上次x的那位，而是之前已经算出的根x，这样才符合k=10*x+y这个条件(eg.已依次算出y0=1,y1=2，那么引进新的2位作为余数增加项来算y3时，k=120+y3，abcd00-12*12*100+ef=20*12*y+y^2，余数为240y+y^2)。

       因为要猜很多次，所以，一般来说，这种十进制算法仅限于心算。但是，对于计算机来说，我们可以将10进制数改成2进制数，两位两位地猜，二进制数只有0值和1值，我们将1值代进去猜测即可，只需要猜1次。一个32位数，我们猜16次，就可以得到结果。对于二进制数来说，若k^2=abcd，假设k=2*x+y，那么abcd=4*x^2+4*x*y+y，ab的余数放到cd里面的结果是：abcd-4*x^2=4*x*y+y，而4这个乘法因子，是可以通过移位来完成的。

3 实现

3.1 牛顿法逼近

   牛顿法逼近，选取合适的初始值很重要，如果初始值很接近结果的话，迭代的次数会变得很少。

   对于一个数b=(1+a)*2^n(其中a为小数部分)，如果，n为偶数，即n=2*m，那么b=(1+a)*2^(2*m)的开方c=2^m*(1+a)^0.5，此时，如果我们可以快速地获取到n的值，我们就可以拿到一个比较接近目标值的数了；另外，注意到(1+a)=(1+a/2)^2-a^2/4，因为0

   对于b=(1+a)*2^n，n为奇数来说，又应该怎么处理呢？其实，我们可以把其中的一个2拿出来开方，再乘上偶数的结果即可。

   那么，有没有方法可以快速拿到a和n的值呢？其实是有的，浮点数存储的就是这两个东西，0~22位存储的刚好是a，23~30位存储的是n+127，31位存储的符号位。所以，我们拿初始值的函数代码为：

  

int IntSqrt_Init(float f)
{
	uint32_t ret;
	uint32_t data = *(uint32_t *)&f;
	const int exp = ((data >> 23) & (0x0ff)) - 127;
	const int tail = data & ((1 << 23) - 1);
	ret = (((exp >> 1) + 127) << 23) | (tail >> 1);
	ret =  *(float *)&ret;
	if(exp & 0x01)
		ret += ret >> 1;
	return ret;
}

    全程都是位运算和加减法，速度是很快的。

   下面是牛顿法的代码：

    

unsigned Int_Sqrt(unsigned y)
{
    unsigned x[2];
    if(y <= 1)
      return y;
    x[0] = IntSqrt_Init(y);
    x[1] = x[0] + (x[0] >> 1);
    while(x[0] != x[1])
    {
        x[1] = x[0];
        x[0] = (y / x[0] + x[0]) >> 1;
    }
    return x[0];
}

    有一个除法运算，它的用时是比较长的，但因为初始值已比较接近目标值，迭代次数比较少，一般两三次就可以达到目标值，所以，总体来看还是很快的。

3.2 数学法分离

 

uint16_t BinSqrt(uint32_t value)
{
    uint16_t root;
    uint16_t rem;
    int i;
    for(root = rem = i = 0; i < 16; ++i)
    {
        int if1;
        root <<= 1;
        rem = (rem << 2) | (value >> 30);
        value <<= 2;
        if1 = (root << 1) + 1;
        if(rem >= if1)
        {
            root |= 1;
            rem -= if1;
        }
    }
    return root;
}

  全程位运算和加减法，循环内部速度快，不过循环体要固定执行16次，总体上来看，还是挺快的。

4 效率测试

   在不带FPU，硬件除法器的MCU（CM0核）上面测试，两者效率相差无几，均高于系统自带的sqrt函数，用时在sqrt的一半一下。如果有硬件除法器的话（如CM3核），是整数牛顿法更优。

   据说雷神之锤的开方算法效率更高，但是，那个开方算法用到了几个浮点数运算，并且还是算开方的倒数的，最后还要做一个浮点数除法，一路下来，对于CM0核的整数开方来说，它的效率虽然高于sqrt，但不及上面两种算法。所以，雷神之锤的开方算法，更适用于带FPU的芯片（如CM4核），效率会很高。