Prufer数列学习笔记

0 前言

本篇由本人原博客搬运至此。

感谢 Echo 对于 2.1 部分的指正。

1 导语

Prufer数列是无根树的一种数列。构造简单，具有很优秀的性质。Prufer数列是生成树计数的一个巧妙工具。

2 介绍

2.1 从树到Prufer数列

一棵n个有编号节点的无根树对应唯一的一串长度为n-2的Prufer数列。而我们可以用迭代删点的方式生成Prufer数列。

定义无向连通图 G=(V,E) G = ( V , E ) ， |V|=|E|+1 | V | = | E | + 1 。我们定义叶子节点为度数为1的节点。然后按以下步骤：

1. 找到一个节点 u∈V u ∈ V ，满足 degu=1 d e g u = 1 的最小的 u u ，记下 u u 和边 (u,v)∈E ( u , v ) ∈ E 。

2. 在Prufer数列中加入节点 v∈V v ∈ V ，在原图中删去 u u 和边 (u,v) ( u , v ) 。

3. 如果 |V|=2 | V | = 2 则停止，否则重复1,2。

比如上图：

1. 找到4，在数列中加入1，删除4及其连边

2. 找到5，在数列中加入2，删除5及其连边

3. 找到6，在数列中加入2，删除6及其连边

4. 找到2，在数列中加入1，删除2及其连边

5. 找到7，在数列中加入3，删除7及其连边

结束，得到数列 [1,2,2,1,3]。

2.2 从Prufer数列到树

​ 一串长度为n-2的Prufer数列对应唯一的一棵n个有编号节点的无根树。

1. 取出Prufer数列最前面的元素 u u ，删除 u u 。

2. 在点集 V V 中找到最小的没有在Prufer数列中出现的元素 v v 。节点 v∈V v ∈ V ，连接边 (u,v) ( u , v ) . 在 V V 中删除 (u,v) ( u , v ) 。

3. 如果 |V|=2 | V | = 2 则将剩余的两个点连边后停止，否则重复1,2。

举例省略。

2.3 性质

Prufer数列具有许多优秀的性质。

1. Prufer数列中某个编号出现的次数+1等于该编号节点在无根树中的度数。因为某个编号 p p 出现一次，就代表有一个连向 p p 的点。而且必然还存在一个连向 p p 的点，来让 p p 从点集中消失。

2. 唯一性。一个Prufer数列和一棵无根树是互相唯一对应的。

3. Caylay公式：对于一张完全图 G=(V,E) G = ( V , E ) ， |V|=n | V | = n 。则该图生成树个数为 nn−2 n n − 2 。完全图中，每个点的度数均为n-1。则Prufer数列中一个点出现次数至多为n-2。又由于该Prufer数列长度为n-2，所以每一个位置都有n种可能。所以该图生成树个数为 nn−2 n n − 2 。

3 实例

3.1 Caylay公式推广

对于未给定的无向连通图 G=(V,E) G = ( V , E ) ，已知 |V| | V | ，且 |V|=|E|+1 | V | = | E | + 1 ，节点两两不同（看做有编号）。已知节点 u∈V u ∈ V 的度 degu d e g u 。求满足条件的 G G 有多少种。

解答：显然无向图 G G 是一棵树。既然已知点度，我们可以想到性质1.

因为节点 u∈V u ∈ V 的度为 degu d e g u ，则 u u 在 G G 所对应的Prufer数列中出现的次数为 degu−1 d e g u − 1 。

那么问题转化为，对于数集 A=1,2,3,...,n A = 1 , 2 , 3 , . . . , n ，定义 f(x) f ( x ) 为对 x∈ x ∈ 在数列中出现次数。求数列B的方案数，满足 ∀x∈B,f(x)=degx ∀ x ∈ B , f ( x ) = d e g x 。

​ 方案数为 Cdeg1−1n−2×Cdeg2−1n−2−(deg1−1)×...×Cdegn−1n−2−(deg1−1+deg2−1+...+degn−1−1) C n − 2 d e g 1 − 1 × C n − 2 − ( d e g 1 − 1 ) d e g 2 − 1 × . . . × C n − 2 − ( d e g 1 − 1 + d e g 2 − 1 + . . . + d e g n − 1 − 1 ) d e g n − 1

即

(n−2)!∏ni=1(degi−1)! ( n − 2 ) ! ∏ i = 1 n ( d e g i − 1 ) !

3.2 [BZOJ1005]明明的烦恼

​ 自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣……给出标号为1到n的点 (n≤1000) ( n ≤ 1000 ) ,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树？

​ 解答：我们将点分成两部分：有规定度数的点和未规定度数的点。然后两部分分别构造生成树。

​ 令有规定度数的点有 k k 个，将有规定度数的点做完后无根树对应的Prufer数列剩余位置为 l l 。则 l=n−2−∑ki=1(degi−1) l = n − 2 − ∑ i = 1 k ( d e g i − 1 )

有规定度数的部分同2.1，即

Cdeg1−1n−2×Cdeg2−1n−2−(deg1−1)×...×Cdegk−1n−2−(deg1−1+deg2−1+...+degk−1−1) C n − 2 d e g 1 − 1 × C n − 2 − ( d e g 1 − 1 ) d e g 2 − 1 × . . . × C n − 2 − ( d e g 1 − 1 + d e g 2 − 1 + . . . + d e g k − 1 − 1 ) d e g k − 1

未规定度数的点当成完全图求生成树处理，即

(n−k)l ( n − k ) l

二者相乘，得

(n−2)!∏ni=1(degi−1)!×l!×(n−k)l ( n − 2 ) ! ∏ i = 1 n ( d e g i − 1 ) ! × l ! × ( n − k ) l