数据结构——图（8）——最小生成树（MST）

问题的提出

如下图，假设这里有一系列的房屋，问如何铺设电线，可以使得连接所有房屋的电线的总成本最低？这是20世纪20年代早期研究最小生长树的最初动机。 （捷克数学家OtakarBorůvka完成的工作）。

最短路径树与最小生成树（MST）

上次，我们看到了Dijkstra算法如何用于在图中找到最短路径树。请注意，最短路径树可能不是MST，反之亦然。为什么这么说呢？
最小生成树（或MST）是总成本最低的生成树。
最短路径树(Shortest Path Tree, SPT)，是一种使用最短路径算法生成的数据结构树。
一个是成本最低，一个是路径最短。
假设有一个图如下：

那么对于星号节点而言，它的最短路径树（左图），和最小生成树（右图）分别如下图所示。

MST算法的发展

• Borůvka提出的原始MST算法（1926）现在称为Borůvka算法。
• 后来，捷克数学家VojtěchJarník（1930）发明了一种现在称为Prim算法的算法。
• 之后，美国数学家Joseph Kruskal（1956）开发了现在称为Kruskal算法的算法，这就是我们今天要呈现的算法。

Kruskal’s Algorithm

这个算法听起来似乎很简单：从图表中删除所有边。 反复找到造成循环的且花费最小的边并将其添加回来。 最终的结果就是整个图的MST
用伪代码可以表示为这样：

function kruskal(graph):
//从图中移除所有边
	Remove all edges from the graph.
	//将所有边放入优先级队列（基于它们自身的权重）
	Place all edges into a priority queue，based on their weight 
	//当优先级队列不为空时
	While the priority queue is not empty:
	//将边从优先级队列中取出
		Dequeue an edge e from the priority queue.
		//如果这条边添加上图中不会构成循环，则将此边添加到图中
		If e's endpoints doesn’t create a cycle ，add that edge into the graph.
		//否则，跳过该边
		Otherwise, skip the edge.

来看下面的一幅带权图，我们试着用这种方法来找到该图的最小生成树。

1. 首先我们先将图中的所有边删除，用虚线表示删除的边

此时，优先级队列的情况是这样的：
pq = {a:1, b:2, c:3, d:4, e:5, f:6, g:7, h:8, i:9, j:10, k:11, l:12, m:13, n:14, o:15, p:16, q:17, r:18}

2. 根据算法，我们从优先级队列中取出队头 a:2.将它添加到图中，发现不构成环状，于是添加到图中（实线部分）
3. 接着我们继续将优先级队列中的其他元素添加到图中，接下来是b:2,结果符合要求，于是加到队列中：
   
   
4. 重复此次步骤。
5. 当添加边到e:5时，我们发现此时构成了一个环状（红色部分），因此这条边不能加在图中，应该跳过这个边，继续添加接下来的边（如图）：
   
6. 当优先级中的队列为空时，表明我们已经将所有的边都遍历了一遍，此时生成的结果就是我们要找的MTS，如图：
   
7. 结果
   Kruskal’s 算法会按如下顺序输出所需的 MST:
   {a, b, c, d, f, h, i, k, p}
   而 MST’s 总花费（权重）为:
   1+2+3+4+6+8+9+11+16 = 60