PCA and Kernel PCA

有几篇讲的很清楚的paper：

1) PCA

A tutorial on Principal Components Analysis: www.ce.yildiz.edu.tr/personal/songul/file/1097/principal_components.pdf

http://wenku.baidu.com/view/9c1a56b3fd0a79563c1e72e4.html

http://www.stat.cmu.edu/~cshalizi/490/pca/pca-handout.pdf

2) Kernel PCA

Kernel Principal Component Analysis: http://www.tribesandclimatechange.org/docs/tribes_450.pdf

http://www2.fml.tuebingen.mpg.de/raetsch/lectures/amsa/7-vonLuxburg-kpca.pdf

 

PCA的零均值化和标准化：

 个维数据点，则：

均值：

标准差：

 

零均值化：

标准化：

 

另外发现一篇关于降维的Tutorial，总结的很全面：

Dimensionality Reduction A Short Tutorial

 

转自：http://wenku.baidu.com/view/9c129d8d680203d8ce2f24fc.html

推导PCA及KPCA使，涉及矩阵的导数问题，常用的矩阵导数如下：

d(AX)/dX = A'
d(AX')/dX = A'
d(XA)/dX = A
d(X'A)/dX = A
d(A'XB)/dX = AB'
d(A'X'B)/dX = BA'
d(X'AX)/dX = AX + A'X

1. 矩阵Y对标量x求导：    
相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了   
Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ij)/dx]'  

 
2. 标量y对列向量X求导：    
注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量   
y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'  

3. 行向量Y'对列向量X求导：
将Y'中的每个列元素对X求偏导，将各列构成一个矩阵, 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
重要结论：    dX'/dX = I     d(AX)'/dX = A'   

4. 列向量Y对行向量X’求导：    
将Y中的每个行元素对X'求偏导，将各行构成一个矩阵, 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。   

5. 向量积对列向量X求导运算法则：   
注意与标量求导有点不同。    
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)   
d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'   
重要结论：    
d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A   
d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A    
d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X  

6. 矩阵Y对列向量X求导：    
将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。   
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。  

7. 矩阵积对列向量求导法则：   
d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)   
d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)   
重要结论：     d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A  

8. 标量y对矩阵X的导数  
类似标量y对列向量X的导数， 把y对每个X的元素求偏导，不用转置。   
dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]    
重要结论：    
y = U'XV = ∑∑u(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'   
y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'    
y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U' 

 9. 矩阵Y对矩阵X的导数：    
将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。