应用拓扑排序来解决DAG(directed acylic graph)的单源最短路径问题

熟悉图的人可以知道，对于单源最短路径的问题，我们可以用bellman-ford算法，或者dijkstra算法来解决，bellman-ford可以解决 有向无环图中边的权值为负数的情况，但是dijkstra不能解决复权值的问题。如果给定一个图G (v, e)， bellman-ford求最短路径的时间复杂度是O(ve)， 而dijkstra所用的时间是O(vlogv)。对于这两种方法就不介绍了。下面介绍一种应用拓扑排序的来解决单源最短路径的问题。时间复杂度是O(v+e)，想了很久，为什么要用拓扑排序能够很好的解决单源最短路径的问题呢。大家想一想拓扑排序的规则：不断的寻找入度为0的节点，那么入度为0的节点代表什么呢，入度为0的节点说明在它入度变为0之前，所有指向它的节点已经通过邻接关系访问过它，也就是说，如果以拓扑排序访问的顺序来计算最短路径的话，那么给定一个节点，只有在拓扑排序顺序排在它之前的节点才有边指向这个节点，排在它之后的就可以忽略掉了，这样就节省了遍历的时间，而且保证不会漏掉任何一个指向它的节点。在遍历到这个节点之前，就已经计算好某个节点，到这个节点的单源最短路值。这就是应用拓扑排序的最大精妙之处。

拓扑排序设定规则如下：如果给定一个图中含有V个节点，初始化一个int数组，dist[V], 将指定的源点的值设置为0之外，其他的都设置成无穷大。之后进行拓扑排序，按照拓扑排序的顺序处理每个节点到邻接点的距离。下面给个具体的例子：

之后给出代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

#define INF INT_MAX

class AdjListNode {
	int v;
	int weight;
public:
	AdjListNode(int _v, int _weight) {
		v = _v;
		weight = _weight;
	}
	int getV() {
		return v;
	}
	int getWeight() {
		return weight;
	}
};

class Graph {
	int vertexNum;
	list *adjacents;
public:
	Graph(int _vertexNum) {
		vertexNum = _vertexNum;
		adjacents = new list[vertexNum];
	}
	void topologicalUtil(int v, bool *visited, stack &m_stack);
	void addEdge(int u, int v, int weight);
	void shortestPath(int s);
};

void Graph::addEdge(int u, int v, int weight) {
	AdjListNode node = AdjListNode(v, weight);
	adjacents[u].push_back(node);
}

void Graph::topologicalUtil(int v, bool *visited, stack &m_stack) {
	visited[v] = true;
	list::iterator iter;
	for (iter = adjacents[v].begin(); iter != adjacents[v].end(); iter++) {
		if (false == visited[iter->getV()])
			topologicalUtil(iter->getV(), visited, m_stack);
	}
	m_stack.push(v);
}

void Graph::shortestPath(int s) {
	stack m_stack;
	bool *visited = new bool[vertexNum];
	int v, u;
	for (v = 0; v < vertexNum; v++)
		visited[v]= false;
	int *dist = new int[vertexNum];
	for (v = 0; v < vertexNum; v++)
		dist[v] = INF;
	for (v = 0; v < vertexNum; v++)
		if (false == visited[v])
			topologicalUtil(v, visited, m_stack);
	dist[s] = 0;
	while (!m_stack.empty()) {
		u = m_stack.top();
		m_stack.pop();
		list::iterator iter;
		if (INF != dist[u]) {
			for (iter = adjacents[u].begin(); iter != adjacents[u].end(); iter++) {
				v = iter->getV();
				if (dist[v] > dist[u] + iter->getWeight())
					dist[v] = dist[u] + iter->getWeight();
			}
		}
	}
	for (v = 0; v < vertexNum; v++) {
		if (INF == dist[v])
			cout << "INF" << " ";
		else
			cout << dist[v] << " ";
	}
}

int main(int argc, char *argv[]) {
	Graph g(6);
    g.addEdge(0, 1, 5);
    g.addEdge(0, 2, 3);
    g.addEdge(1, 3, 6);
    g.addEdge(1, 2, 2);
    g.addEdge(2, 4, 4);
    g.addEdge(2, 5, 2);
    g.addEdge(2, 3, 7);
    g.addEdge(3, 4, -1);
    g.addEdge(4, 5, -2);
    int s = 1;
    cout << "Following are shortest distances from source " << s <<" \n";
    g.shortestPath(s);
	cin.get();
    return 0;
}

Following are shortest distances from source 1
INF 0 2 6 5 3