[ACM_其他] Modular Inverse [a关于模m的逆 模线性方程]

 

Description

The modular modular multiplicative inverse of an integer a modulo m is an integer x such that a-1≡x (mod m). This is equivalent toax≡1 (mod m).

Input

There are multiple test cases. The first line of input is an integer T ≈ 2000 indicating the number of test cases.

Each test case contains two integers 0 < a ≤ 1000 and 0 < m ≤ 1000.

Output

For each test case, output the smallest positive x. If such x doesn't exist, output "Not Exist".

Sample Input

3

3 11

4 12

5 13

Sample Output

4

Not Exist

8

 

题目大意：求a关于模m的逆。

解题思路：1>扩展欧几里得算法：找出一对整数对（x,y),使得ax+by=gcd(a,b).

　　　　　2>设a,b,c为任意整数.若方程ax+by=c的一组整数解为(x,y)，则它的任意解为（x+k*b',y+k*a'),其中a'=a/gcd(a,b),b'=b/gcd(a,b),k任意整数.

　　　　　3>模线性方程：输入正整数：a,b,n，解方程ax≡b(mod n)即：a-b是n的整数倍即：ax-b=ny.

         4>ax≡1 (mod m)等价于：ax%m==1%m 也等价于：ax-my=1是否有整数解且求出满足条件的最小整数x。扩展欧几里得算法1必须是gcd(a,m)的倍数，所以a和n互素即：gcd(a,m)=1才会有解，在该条件下有唯一解。

 

 1 #include<iostream>

 2 #include<string.h>

 3 #include<cstring>

 4 #include<string>

 5 using namespace std;

 6 void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y){

 7     if(!b){

 8         d=a;x=1;y=0;

 9     }else{

10         gcd(b,a%b,d,y,x);

11         y-=x*(a/b);

12     }

13 }//扩展欧几里得算法，a,b,是输入量

14 //d为gcd(a,b),x,y为ax+by=gcd(a,b)的一组整数解

15 int main(){

16     int T;cin>>T;

17     while(T--){

18         int a,m,d,x,y;

19         cin>>a>>m;

20         gcd(a,m,d,x,y);

21         if(d!=1)cout<<"Not Exist\n";

22         else{//根据一组解求满足条件的x

23             if(x>0){

24                 while(x>0)x-=m;

25                 x+=m;

26             }else if(x<0){

27                 while(x<0)x+=m;

28             }else x+=m;

29             cout<<x<<'\n';

30         }

31     }return 0;

32 }