Lagrange插值函数及其Matlab代码

一.为什么要引进插值函数

在实际问题中，两个变量的关系y=f(x)经常要 靠实验和观测来获得，而在通常的情况下只能得到f(x)在有限个点上的值
                                                                   =(),  i=0,1,2,...,n
人们希望找到f(x)的一个近似函数y=(x),使得

                                                                   ,i=0,1,2,...,n                                   (0.1)

此时，称为被插函数，点称为插值结点，称为插值函数，（0.1）称为插值条件。

在处理插值问题的时候，首先根据需要选择是哪一类函数，如果选择为代数多项式就产生了代数插值问题。类似地，有三角多项式插值，有理函数插值和样条函数插值等问题，本文主要考虑代数多项式插值问题。

二.Lagrange插值的定义

由于大家都学过推到过程，我就不一一推导了，直接上公式：

n次Lagrange插值多项式：

其中是次基函数               

 

这里着重讲一下一次Lagrange插值和二次Lagrange插值，又分别称为线性Lagrange插值和抛物线性Lagrange插值。

例如我们通过实验或观测已知如下表所示的数据，要求构造一个抛物线插值函数。

抛物线插值问题

X
Y

 

 

 

 

直接带入公式可得：                                                                                               （1）

                        其中     

                                     

                                     

Lagrange插值多项式不必死记硬背，其基函数只有在x=时，基函数才为1，在x等于其他点时，=0.记住这个特性，基函数公式就特别简单推到了。

三.Lagrange插值多项式的应用

光说不练都是假把戏，接题：

已知，求

设=100，=10，=121，=11，=144，=12

代入（1）得                

将（2）整理下，然后将x=115代入得y=10.7228，可以验证同精度比较，该结果具有4位有效数字。

四.Lagrange插值多项式的Matlab程序

function s=LagrangeInter(x,y,x0)
%% LagrangeInter：求拉格朗日插值多项式函数
% x为节点X坐标向量
% y为节点Y坐标向量
% x0为待计算点的x坐标

syms p;
n=length(x);             %读取x向量维数                             
s=0;
for i=1:n
    Li=y(i); 
%构造基函数
    for j=1:i-1
        Li=Li*(p-x(j))/(x(i)-x(j));      
    end
    for j=i+1:n
        Li=Li*(p-x(j))/(x(i)-x(j));    
    end
    s=s+Li;                        
    simplify(s);                       
end
%对输入参数个数做判断，如果只有两个参数直接给出插值多项式
%如果三个参数  则给出插值点的插值结果,第三个参数可以为向量
if(nargin==2)
  s=subs(s,'p','x');  
  s=collect(s);        %展开多项式
%  s=vpa(s,4);          %把系数取到6位精度表达         
else
    s = subs(s,'p',x0);
    %   m=length(x0);     %读取t长度
%分别对t的每一个分量插值 
%   for i=1:m
%      temp(i)=subs(s,'p',x0(i)); 
%   end  
%     s=temp;
end