快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究

快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究

LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换,FFT的理解和编程还是比较难的,特地撰写此文分享一下研究成果。

 一、彻底理解傅里叶变换

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法,简称FFT,通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。

模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。为保证采样后信号的频谱形状不失真,采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍,这称之为采样定理

假设采样频率为fs,采样点数为N那么FFT结果就是一个N点的复数每一个点就对应着一个频率点,某一点n(n1开始)表示的频率为:fn=(n-1)*fs/N

举例说明:用1kHz的采样率采样128点,则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是01k/1282k/128,3k/128,…,127k/128 Hz

这个频率点的幅值为:该点复数的模值除以N/2n=1时是直流分量,其幅值是该点的模值除以N)。

二、傅里叶变换的C语言编程

1、对于快速傅里叶变换FFT,第一个要解决的问题就是码位倒序。

    假设一个N点的输入序列,那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.

    码位倒序要解决两个问题:①t位二进制数倒序;将倒序后的两个存储单元进行交换。

①将t=3位二进制数倒序

将倒序后的两个存储单元进行交换

 如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示,例如若最大序号为15,即用4位就可表示n3n2n1n0,则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3,那么怎样才能实现倒序呢?利用C语言的移位功能!

程序如下,我不多说,看不懂者智商一定在180以下!

复数类型定义及其运算

#define N 64      //64点

#define log2N 6   //log2N=6

/*复数类型*/

typedef struct

{

 float real;

 float img;

}complex;

complex xdata x[N]; //输入序列

/*复数加法*/

complex add(complex a,complex b)

{

 complex c;

 c.real=a.real+b.real;

 c.img=a.img+b.img;

 return c;

}

/*复数减法*/

complex sub(complex a,complex b)

{

 complex c;

 c.real=a.real-b.real;

 c.img=a.img-b.img;

 return c;

}

/*复数乘法*/

complex mul(complex a,complex b)

{

 complex c;

 c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;

 c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;

 return c;

}

/***码位倒序函数***/

void Reverse(void)

{

 unsigned int i,j,k;

 unsigned int t;

 complex temp;//临时交换变量

 for(i=0;i//从第0个序号到第N-1个序号

 {

  k=i;//当前第i个序号

  j=0;//存储倒序后的序号,先初始化为0

  for(t=0;t//共移位t次,其中log2N是事先宏定义算好的

  {

   j<<=1;

   j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位

   k>>=1;//k右移一位,次低位变为最低位

  }

  if(j>i)//如果倒序后大于原序数,就将两个存储单元进行交换(判断j>i是为了防止重复交换)

  {

   temp=x;

   x=x[j];

   x[j]=temp;

  }

 }

}

2、第二个要解决的问题就是蝶形运算

①第1级(第1列)每个蝶形的两节点距离1,第2级每个蝶形的两节点距离2,第3级每个蝶形的两节点距离4,第4级每个蝶形的两节点距离8。由此推得,

 m级蝶形运算,每个蝶形的两节点“距离”L=2m-1

②对于16点的FFT,第1级有16组蝶形,每组有1个蝶形;第2级有4组蝶形,每组有2个蝶形;第3级有2组蝶形,每组有4个蝶形;第4级有1组蝶形,每组有8个蝶形。由此可推出,

对于N点的FFT,第m级有N/2L组蝶形,每组有L=2m-1个蝶形。

③旋转因子的确定

16FFT为例,第m级第k个旋转因子为,其中k=02m-1-1,即第m级共有2m-1个旋转因子,根据旋转因子的可约性,,所以m级第k个旋转因子为,其中k=02m-1-1。

为提高FFT的运算速度,我们可以事先建立一个旋转因子数组,然后通过查表法来实现。

complex code WN[N]=//旋转因子数组
//为节省CPU计算时间,旋转因子采用查表处理
  //根据实际FFT的点数N,该表数据需自行修改
  //以下结果通过Excel自动生成
  //  WN[k].real=cos(2*PI/N*k);
  //  WN[k].img=-sin(2*PI/N*k);

  {1.00000,0.00000},{0.99518,-0.09802},{0.98079,-0.19509},{0.95694,-0.29028},
  {0.92388,-0.38268},{0.88192,-0.47140},{0.83147,-0.55557},{0.77301,-0.63439},
  {0.70711,-0.70711},{0.63439,-0.77301},{0.55557,-0.83147},{0.47140,-0.88192},
  {0.38268,-0.92388},{0.29028,-0.95694},{0.19509,-0.98079},{0.09802,-0.99518},
  {0.00000,-1.00000},{-0.09802,-0.99518},{-0.19509,-0.98079},{-0.29028,-0.95694},
  {-0.38268,-0.92388},{-0.47140,-0.88192},{-0.55557,-0.83147},{-0.63439,-0.77301},
  {-0.70711,-0.70711},{-0.77301,-0.63439},{-0.83147,-0.55557},{-0.88192,-0.47140},
  {-0.92388,-0.38268},{-0.95694,-0.29028},{-0.98079,-0.19509},{-0.99518,-0.09802},
  {-1.00000,0.00000},{-0.99518,0.09802},{-0.98079,0.19509},{-0.95694,0.29028},
  {-0.92388,0.38268},{-0.88192,0.47140},{-0.83147,0.55557},{-0.77301,0.63439},
  {-0.70711,0.70711},{-0.63439,0.77301},{-0.55557,0.83147},{-0.47140,0.88192},
  {-0.38268,0.92388},{-0.29028,0.95694},{-0.19509,0.98079},{-0.09802,0.99518},
  {0.00000,1.00000},{0.09802,0.99518},{0.19509,0.98079},{0.29028,0.95694},
  {0.38268,0.92388},{0.47140,0.88192},{0.55557,0.83147},{0.63439,0.77301},
  {0.70711,0.70711},{0.77301,0.63439},{0.83147,0.55557},{0.88192,0.47140},
  {0.92388,0.38268},{0.95694,0.29028},{0.98079,0.19509},{0.99518,0.09802}    
};

3、算法实现

我们已经知道,NFFT从左到右共有log2N级蝶形,每级有N/2L组,每组有L个。所以FFTC语言编程只需用3层循环即可实现:最外层循环完成每一级的蝶形运算(整个FFTlog2N级),中间层循环完成每一组的蝶形运算(每一级有N/2L组),最内层循环完成单独1个蝶形运算(每一组有L个)。

  /***【快速傅里叶变换】***/

  void FFT(void)

  {

   unsigned int i,j,k,l;

   complex top,bottom,xW;

   Reverse(); //码位倒序

   for(i=0;i/*共log2N级*/

   {    //一级蝶形运算

    l=1<2的i次方

    for(j=0;j/*每L个蝶形是一组,每级有N/2L组*/

    {   //一组蝶形运算

     for(k=0;k/*每组有L个*/

     {  //一个蝶形运算

       xW=mul(x[j+k+l],WN[N/(2*l)*k]); //碟间距为l

       top=add(x[j+k],xW); //每组的第k个蝶形

       bottom=sub(x[j+k],xW);

       x[j+k]=top;

       x[j+k+l]=bottom;

     }

    }

   }

  }

三、FFT计算结果验证

随便输入一个64点序列,例如
x[N]={{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0}};
KeilDebug查看数组变量x的FFT计算结果并与MATLAB计算结果进行比对,可以发现非常准确,说明程序编写正确!

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