FFT运算的用途（经典）

FFT运算的用途（经典）作者： 杨哲瑜

前几天一个大三的问我FFT怎么去分析音频信号，虽然以前写过

FFT的运算程序，但是并不知道具体是怎么用的，我上网找了很

多资料，也没有写它的用法，看《数字信号处理的书》太厚，实

在看不下去，后来他传给我一点资料，看了下，感觉很好，现在

分享给对此有兴趣的同学~~

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换 
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如 
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号 
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱 
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去 
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用 
多少点来做FFT。

    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。 
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样 
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就 
不在此罗嗦了。

    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点， 
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。

    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率 
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始 
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量 
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。 
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个 
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也 
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示 
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率 
依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。 
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果 
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。 
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒 
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时 
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率 
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和 
采样时间是倒数关系。 
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是 
An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果， 
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为： 
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。 
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。 
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果， 
即小于采样频率一半的结果。

    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的 
信号来做说明。

    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、 
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、 
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。 
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。 
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个 
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号 
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、 
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？ 
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有 
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看： 
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值 
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。 
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值， 
结果如下： 
1点： 512
51点：384
76点：192
    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2； 
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的 
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来 
的幅度是正确的。 
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管 
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再 
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度， 
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。 
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达 
式了，它就是我们开始提供的信号。