蓝桥杯 历届试题 包子凑数 完全背包dp+扩展欧几里得

蓝桥杯历年真题题目及题解目录汇总

 

历届试题 包子凑数  

时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB

    

问题描述

　　小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。


　　每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。


　　当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。


　　小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入格式

　　第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出格式

　　一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

样例输入

2
4
5

样例输出

6

样例输入

2
4
6

样例输出

INF

样例说明

　　对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
　　对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

数据规模和约定

　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 1000ms

首先解释下为什么数组开1W就行了，只有2个数时，最大不能组合的数有个公式x*y-x-y，而A[i]最大100

这个是没有想到用gcd的AC代码，这里的背包只有dp[0]有值，即只有出口有值，这里还可以用于求多少种刚好装满背包的取法

欧几里得算法与扩展欧几里得算法_知识点

import java.util.Scanner;

public class 蓝桥杯_包子凑数 {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int n = in.nextInt();
		int[] a = new int[n+5];
		int[] dp = new int[50005];//只有2个数时，最大不能组合的数x*y-x-y，有这个公式
		int ans=0,x=0,y=0;
		boolean flag = false;
		dp[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			a[i] = in.nextInt();
			if(a[i]%2==1)
				x=1;
			else
				y=1;
			if(a[i]==1) 
				flag = true;
		}
		if(flag) {
			System.out.println(0);
			return;
		}else if(x+y==1) {
			System.out.println("INF");
			return;
		}
		
		for(int i=1;i<=n;i++) 
			for(int j=a[i];j<=50000;j++)
				dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-a[i]]);
		
		for(int j=1;j<=50000;j++) 
			if(dp[j]==0)
				ans++;
		
		if(ans>15000)//没有这个不能过最后一个用例,87%,在A[i]100内,98*99组合出来的一定是最多不难组合的数了，他的值为4753,1w5已经很保守了
			System.out.println("INF");//超过1W5认为是无穷
		else
			System.out.println(ans);
	}

}

 使用gcd判断是否n个数互质，互质（relatively prime）又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。

很好理解，如果n个数都有一个大于1的公因子，那就凉了，比如2，4，6

import java.util.Scanner;

public class 蓝桥杯_包子凑数 {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int n = in.nextInt();
		int[] a = new int[n+5];
		int[] dp = new int[10005];//只有2个数时，最大不能组合的数x*y-x-y，有这个公式
		int ans=0;
		dp[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) 
			a[i] = in.nextInt();

		int g = a[1];
		for(int i=2;i<=n;i++) 
			g = gcd(g,a[i]);

		
		if(g!=1) {
			System.out.println("INF");
			return;
		}

		
		for(int i=1;i<=n;i++) 
			for(int j=a[i];j<=10000;j++)
				dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-a[i]]);
		
		for(int j=1;j<=10000;j++) 
			if(dp[j]==0)
				ans++;

		System.out.println(ans);
	}
	
	static int gcd(int a,int b) {
		return b==0?a:gcd(b,a%b);
	}
	
}