N个点FFT变换中的频率分辨率以及与实际频率的关系

做FFT变换时，我们一般会取N个点来做FFT变换，得到N个变换后的系数，也称之为频谱系数。在离散时间傅里叶变换中，频谱系数是周期函数，以2*pi（注：pi指的是圆周率3.1415926）为周期。
频谱的分辨率是 2*pi/N.  假设采样率是fs，那么，这个2*pi/N与fs有什么关系？对应实际频率来讲，其频率的分辨率是多少赫兹的？
我们从对连续函数采样的公式来推导：

e^(j*2*pi*k*f*t)  这是连续傅里叶变换中用到的基函数（用于xt在上面做分解，投影，映射）。对这个函数，按照fs的采样率采样N个点，公式如下：
e^(j*2*pi*k*f*(n*1/fs)),其中n属于[0,N).
这N个点用来直接做FFT，隐含着其周期就是N个点，这N个点一直在循环往复。所以，e^(j*2*pi*k*f*t) 中的t，在一个周期T内采样，T是等于N*1/fs这么长的时间。
T = N * 1/fs
所以，e^(j*2*pi*k*f*t)中的f就等于 1/T，进而等于fs/N:
f=fs/N，所以，f/fs = 1/N

总的推导如下：
e^(j*2*pi*k*f*t) 
=e^(j*2*pi*k*f*(n*1/fs))  ----------以 fs 为采样率来采样,采样 N 个点，这里的=不是严格意义上的等于，而是相当于 “离散化操作”。
=e^(j*2*pi*k*f/fs*n)   -------------把离散化后的 n 分离出来，让 f 与 fs结合
=e^(j*2*pi*k*1/N*n)------------- f/fs 就等于 N， 参考前面的说明
=e^(j*k*(2*pi/N)*n)-----把k 与 n 都分别分离开，把 2 * pi/N 合在一起



所以，离散后，频谱分辨率是2*pi/N，即基频是这个。harmonic频率是这个频率的k倍，k在[0,N-1]区间内。
而对应的连续函数，其基频是f，即1/T，即fs/N. 基频是fs/N.

所以，2*pi/N这个基频，对应的实际频率是fs/N.

补充：

 离散傅里叶变换，如果取[0:2*pi)这个周期，则幅度是以pi为中心对称的。
 e^(j*2*pi*1*/N)与e^(j*2*pi*(N-1)/N)的幅度相等，相位不同。
 e^(j*2*pi*1*/N) = cos(2*pi/N) + j * sin(2*pi/N)

e^(j*2*pi*(N-1)/N)
=e^(j*2*pi*N/N - j*2*pi*1*/N )
=e^(- j*2*pi*1*/N )
=cos(2*pi/N) - j * sin(2*pi/N)

补充二：（来自这个博客：http://www.cnblogs.com/sddai/p/5513407.html）
4种频率及其数量关系

4种频率及其数量关系

实际物理频率表示AD采集物理信号的频率，fs为采样频率，由奈奎斯特采样定理可以知道，fs必须≥信号最高频率的2倍才不会发生信号混叠，因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。
角频率是物理频率的2*pi倍，这个也称模拟频率。
归一化频率是将物理频率按fs归一化之后的结果，最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5，这也就是为什么在matlab的fdtool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。
圆周频率是归一化频率的2*pi倍，这个也称数字频率。

也有归一化到[-1,1]之间的，如下图，横坐标是表示 pi，所以，归一化到[-pi, pi]之间